הוכחה ודוגמה, בניית דוגמה
נושא זה כולל מציאת מקרה ספציפי המקיים קבוצת תנאים נתונה (דוגמה) או כזה המפריך טענה כללית (דוגמה נגדית). זוהי מיומנות חיונית להבנת טענות מתמטיות. שאלות מבקשות ישירות בנייה כזו.
-
מקדמים שלמים?
נתונים מספרים ממשיים a,b,c כך שעבור כל מספר שלם x המספר `ax^2+bx+c` שלם. האם זה בהכרח אומר ש a,b,c כולם שלמים? הוכיחו שכן או הביאו דוגמא נגדית.
מקורות:- תחרות גרוסמן, 2017, צעירים שאלה 2
-
קבוצות במישור
א. האם קיימת במישור קבוצה A שחיתוכה עם כל מעגל מכיל שתי נקודות בדיוק?
ב. האם קיימת במישור קבוצה B שחיתוכה עם כל מעגל ברדיוס 1 מכיל שתי נקודות בדיוק?
מקורות:נושאים:גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת הקבוצות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום- תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 3
-
הספְרָה ה-1224
כותבים את המספרים הטבעיים על פי סדר, זה אחר זה משמאל לימין:
1234567891011...
נשים לב למשל, שהספרה במקום ה-10 היא 1 ושהספרה במקום ה-11 היא 0.
ממשיכים עם הכתיבה הזו, כמה שצריך...
איזו ספרה תהיה במקום ה-1224 ברצף?
מקורות: -
צפוף פה!
על לוח המשחק ממוקמים 55 גלגלי שיניים בצורת 'פירמידה':
10 גלגלים בשורה התחתונה, 9 גלגלים בזו שמעליה, וכן הלאה.
במצב זה, הגלגלים לא יכולים להסתובב בחופשיות (שכנעו את עצמכם מדוע!)
מסירים גלגלי שיניים כדי לאפשר תנועה חופשית.
כמה גלגלים לכל היותר יישארו על הלוח כך שכולם יוכלו להסתובב?
מקורות: -
שבילים בפארק משולש
בפארק יש 3 שבילים ישרים שיוצרים משולש (אין שבילים נוספים). הכניסות לפארק הן באמצעי השבילים, ובכל קודקוד של המשולש תלוי פנס. מכל כניסה מדדו את מרחק ההליכה הקצר ביותר, לאורך שבילי הפארק, עד הפנס בפינה הנגדית. התברר כי 2 מבין 3 המרחקים שווים זה לזה. האם המשולש בהכרח שווה-שוקיים?
מקורות:נושאים:גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש