הוכחה ודוגמה, בניית דוגמה

נושא זה כולל מציאת מקרה ספציפי המקיים קבוצת תנאים נתונה (דוגמה) או כזה המפריך טענה כללית (דוגמה נגדית). זוהי מיומנות חיונית להבנת טענות מתמטיות. שאלות מבקשות ישירות בנייה כזו.

• שאלה

  האם יתכן שסכום של שלושה מספרים טבעיים יתחלק בכל אחד מהם?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  על הלוח כתובים המספרים:

  `1,2^1,2^2,2^3,2^4,2^5`

  תוך פעולה אחת מותר למחוק שני מספרים שכתובים על הלוח ולרשום במקומם את ההפרש (האי-שלילי) שלהם.

  האם ניתן להגיע באמצעות פעולות כאלו למצב שעל הלוח כתוב מספר יחיד והוא `15`?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  סכומם של כמה מספרים שווה ל-`1`. האם יתכן כי סכום הריבועים שלהם קטן מעשירית?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> שברים אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• המשימה המתוחכמת

  לחנה יש סלסלה בה `13` תפוחים. חנה רוצה לדעת את המשקל הכולל של כל התפוחים האלה. לרחל יש משקל דיגיטלי, והיא מוכנה לעזור לחנה, אבל רק בתנאים הבאים: בכל שקילה חנה יכולה לשקול בדיוק `2` תפוחים, והמספר של השקילות לא יכול לעבור את `8`.

  הסבירו כיצד בתנאים האלה חנה יכולה לדעת את המשקל הכולל של התפוחים.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת האלגוריתמים -> שקילות
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  נגיד ששתי פירמידות משיקות זו לזו אם אין להן נקודות פנימיות משותפות והן נחתכות במצולע מישורי לא מנוון. האם ייתכן ש 8 פירמידות במרחב ישיקו כולם אחת לשנייה? 
  א. אנג'אנס 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות י"א-י"ב שאלה 1 נקודות 7

• שאלה

  נתון פולינום `P(n)=n^2+n+41`. האם נכון שהפולינום הזה מקבל ערכים ראשוניים לכל `n` טבעי?

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אלגברה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  המשחק מתבצע על מישור אינסופי. שחקן אחד מזיז את הזאב ושחקן אחר – K כבשים. לאחר מהלך של זאב אחת הכבשים עושה מהלך אחר כך שוב זאב וכך הלאה. במהלך אחד הזאב או הכבשה לא הולכים יותר ממטר אחד לכל צד. האם בכל מצב התחלתי הזאב יוכל לתפוס לפחות כבשה אחת? 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים גאומטריה -> גאומטריה במישור לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות י"א-י"ב שאלה 2

• שאלה

  חרגול יודע לקפוץ `80` סנטימטרים קדימה או `50` סנטימטרים אחורה. האם יכול החרגול להתרחק מהנקודה ההתחלתית תוך פחות מ-`7` קפיצות  למרחק של מטר אחד ו-`70` ס"מ בדיוק?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> משפט השאריות הסיני אלגברה -> בעיות מילוליות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• שאלה

  האם ניתן לחתוך משולש לארבע צורות קמורות הבאות: משולש, מרובע, מחומש ומשושה?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה

• שאלה

  נתון דף נייר בגודל `10×10` ס"מ. האם תוכלו לגזור מהדף הזה מספר עיגולים שסכום הקטרים שלהם יהיה גדול מ-`5` מטרים?

  נושאים:

  אריתמטיקה גאומטריה -> חשבון שטחים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה