קומבינטוריקה, טבלאות מספריות

בעיות בקטגוריה זו כוללות רשתות או טבלאות מלאות במספרים. משימות עשויות לכלול מציאת תבניות, קביעת ערכים חסרים על בסיס כלל, חישוב סכומים של שורות/עמודות/אלכסונים, או ניתוח תכונות של סידורים ספציפיים כמו ריבועי קסם.

  • פאזל מסגרת הדומינו

    ניתן לראות באיור שהסט המלא של עשרים ושמונה אבני הדומינו מסודר בצורת מסגרת מרובעת, כאשר `6` מול `6, 2` מול `2`, ריק מול ריק, וכן הלאה, כמו במשחק. יתגלה כי הנקודות בשורה העליונה ובטור השמאלי מסתכמות ל-`44`. הנקודות בשני הצדדים האחרים מסתכמות ל-`59` ו-`32` בהתאמה. הפאזל הוא לסדר מחדש את אבני הדומינו באותה צורה כך שכל ארבעת הצדדים יסתכמו ל-`44`. זכור שאבני הדומינו חייבות להיות מונחות נכון אחת מול השנייה כמו במשחק. מקורות:

  • השמונה הבעייתית

    כמעט כולם יודעים ש"ריבוע קסם" הוא סידור של מספרים בצורת ריבוע כך שכל שורה, כל טור וכל אחד משני האלכסונים הארוכים מסתכמים באופן שווה. לדוגמה, לא תתקשו במיוחד פשוט להציב מספר שונה בכל אחד מתשעת התאים באיור כך שהשורות, הטורים והאלכסונים יסתכמו כולם ל-`15`. ובניסיון הראשון שלכם סביר להניח שתגלו שיש לכם `8` באחת הפינות. החידה היא לבנות את ריבוע הקסם, תחת אותם תנאים, עם `8` במיקום המוצג. מקורות:

  • שמונה אסירים עליזים

     

    האיור מציג תוכנית של בית סוהר המכיל תשעה תאים, כולם מקושרים זה לזה באמצעות פתחי דלתות. לשמונת האסירים יש מספרים על גבם, ומותר לכל אחד מהם להתעמל בכל תא שמתפנה, בכפוף לכלל שבאף זמן נתון לא יהיו שני אסירים באותו תא. המלך העליז שבתחום שלטונו היה ממוקם בית הסוהר הציע להם נוחיות מיוחדות בערב חג המולד אחד, אם, מבלי להפר את הכלל הזה, הם יוכלו למקם את עצמם כך שמספריהם ייצרו ריבוע קסם.

    כעת, לאסיר מספר `7` היה ידע רב על ריבועי קסם, ולכן הוא פיתח תוכנית ובחר באופן טבעי בשיטה המהירה ביותר—כלומר, כזו הכוללת את המספר הקטן ביותר האפשרי של מעברים מתא לתא. אבל אחד האנשים היה ממורמר, עקשן (בלתי מתאים לחלוטין לחברתם של חבריו העליזים), והוא סירב לצאת מתאו או לקחת חלק כלשהו בהליכים. אבל מספר `7` היה שווה ערך לחלוטין למצב החירום, וגילה שהוא עדיין יכול לעשות את מה שנדרש במספר המועט ביותר האפשרי של מהלכים, מבלי להטריד את הבהמה לעזוב את תאו. החידה היא להראות איך הוא עשה זאת, ואגב כך, לגלות איזה אסיר היה טיפש ועקשן כל כך. האם תוכלו למצוא את הבחור?

    מקורות:

  • תִשְׁעָה אסִירִים עַלִיזִים

    זמן קצר לאחר התקרית שתועדה בחידה הקודמת, אסיר תשיעי הוכנס לתא הריק, והמלך העליז הציע להם חירות מוחלטת בתנאים המוזרים הבאים. הם נדרשו לסדר את עצמם מחדש בתאים כך שהמספרים שלהם יצרו ריבוע קסם מבלי שהתנועות שלהם יגרמו לשניים מהם להיות אי פעם באותו תא יחד, למעט שבתחילה מותר לאדם אחד להיות מונח על כתפיו של אדם אחר, ובכך להוסיף את המספרים שלהם יחד, ולנוע כאדם אחד. לדוגמה, מס' `8` עשוי להיות מונח על כתפיו של מס' `2`, ואז הם ינועו יחד כ-`10`. על הקורא לנסות תחילה לפתור את החידה במספר המהלכים המועט ביותר האפשרי, ואז לוודא שלאדם שעליו הוטל הנטל יש את כמות העבודה הקטנה ביותר האפשרית. מקורות:

  • הצינוק הספרדי

    לא רחוק מחמישים מייל מקדיז ניצב בימי הביניים מבצר, שכל עקבותיו נעלמו במשך מאות שנים. בין שאר המאפיינים המעניינים, המבצר הזה הכיל צינוק לא נעים במיוחד, המחולק לשישה עשר תאים, כולם מתקשרים זה עם זה, כפי שמוצג באיור.

    עתה, המושל היה עליז, וחובב חידות גדול. יום אחד הוא הלך לצינוק ואמר לאסירים, "בחיי!" (או המקבילה שלו בספרדית) "כולכם תשוחררו אם תוכלו לפתור את החידה הזו. עליכם לסדר את עצמכם בשישה עשר התאים כך שהמספרים על גבכם יהוו ריבוע קסם שבו כל טור, כל שורה וכל אחד משני האלכסונים יסתכמו לאותו מספר. רק זכרו זאת: שאף אחד מכם לא יהיה ביחד באותו תא."

    אחד האסירים, לאחר שעבד על הבעיה במשך יומיים או שלושה, עם חתיכת גיר, לקח על עצמו להשיג את חירותו וחירות חבריו האסירים אם הם ילכו בעקבות הוראותיו ויעברו דרך הפתח מתא לתא בסדר שבו יקרא את המספרים שלהם. 

     

    הוא הצליח בניסיונו, ומה שמרשים יותר, כך נראה מהתיאור של שיטתו שנרשם בכתב היד העתיק שלפניי, שהוא עשה זאת במספר המהלכים המועט ביותר האפשרי. הקורא מתבקש להראות מה היו המהלכים האלה.

    מקורות:

  • הצינוקים הסיביריים

     

    למעלה מוצגת תוכנית מהימנה של בית כלא רוסי מסוים בסיביר. כל התאים ממוספרים, והאסירים ממוספרים במספרים זהים לתאים בהם הם נמצאים. תזונת הכלא כל כך משמינה שאסירים פוליטיים אלה חוששים תמידית שאם יגיע חנינה, הם לא יוכלו לדחוס את עצמם דרך הפתחים הצרים ולצאת. וכמובן שזה יהיה לא סביר לבקש מכל ממשלה להפיל את חומות הכלא רק כדי לשחרר את האסירים, יהיו אשר יהיו חפים מפשע. לכן אנשים אלה עושים את כל הפעילות הגופנית הבריאה שהם יכולים כדי לעכב את ההשמנה הגוברת שלהם, ואחד הבילויים שלהם ישמש אותנו כדי לספק את החידה הבאה.

    הראו, במספר המהלכים המועט ביותר האפשרי, כיצד ששת-עשר האסירים יכולים לסדר את עצמם בריבוע קסם, כך שהמספרים על גבם יסתכמו לאותו סכום בכל אחד מארבעת הטורים, ארבע השורות ושני האלכסונים, מבלי ששני אסירים היו אי פעם באותו תא יחד. מוטב שאומר, לידיעת אלה שעדיין לא הכירו את המקומות האלה, שאחת המוזרויות של בתי הכלא היא שלא מורשים לצאת מגבולות החומות שלהם. כל אסיר רשאי ללכת כל מרחק אפשרי במהלך בודד.

    מקורות:

  • ריבועי קסם של קלפים

    קחו חפיסת קלפים רגילה והוציאו את שנים-עשר קלפי הפנים (נסיך, מלכה ומלך). כעת, עם תשעה מהקלפים הנותרים (הצבעים השונים אינם משנים), צרו את ריבוע הקסם שלמעלה. ניתן לראות שהערך המספרי של הקלפים מסתכם ל-`15` בכל שורה, בכל עמוד ובכל אחד משני האלכסונים הראשיים. החידה היא ליצור, בעזרת הקלפים הנותרים (מבלי לשנות את הסידור הזה), שלושה ריבועי קסם נוספים כאלה, כך שכל אחד מארבעת הריבועים יסתכם לסכום שונה. כמובן שיהיו ארבעה קלפים בחפיסה המצומצמת שלא ישמשו. ארבעת אלה יכולים להיות כל קלף שתבחרו. זו לא חידה קשה, אבל היא דורשת קצת מחשבה. מקורות:

  • שְׁנֵי רִבּוּעִים קְסוּמִים חֲדָשִׁים

    בְּנוּ רִבּוּעַ קְסָם חִסּוּרִי עִם שִׁשָּׁה עָשָׂר הַמִּסְפָרִים הַשְּׁלֵמִים הָרִאשׁוֹנִים שֶׁיִּהְיוּ "מְקֻשָּׁרִים" עַל יְדֵי חִסּוּר. הַקּוֹנְסְטַנְטָה מֻשֶּׂגֶת, כַּמּוּבָן, עַל יְדֵי חִסּוּר הַמִּסְפָר הָרִאשׁוֹן מִן הַשֵּׁנִי בַּשּׁוּרָה, הַתּוֹצָאָה מִן הַשְּׁלִישִׁי, וְהַתּוֹצָאָה שׁוּב מִן הָרְבִיעִי. בְּנוּ גַּם רִבּוּעַ קְסָם חִלּוּקִי מֵאוֹתוֹ סֵדֶר שֶׁיִּהְיֶה "מְקֻשָּׁר" עַל יְדֵי חִלּוּק. הַקּוֹנְסְטַנְטָה מֻשֶּׂגֶת עַל יְדֵי חִלּוּק הַמִּסְפָר הַשֵּׁנִי בַּשּׁוּרָה בָּרִאשׁוֹן, הַשְּׁלִישִׁי בְּמָנֶה, וְהָרְבִיעִי בַּמָּנֶה הַבָּא. מקורות:

  • ריבועי קסם מדרגה שנייה

    בזמן שקראתי חיבור מתמטי צרפתי, נתקלתי בהצהרה הבאה: "ריבוע קסם מדהים ביותר מסדר `8`, בשתי דרגות, נבנה על ידי מר פפרמן. במילים אחרות, הוא הצליח לסדר את שישים וארבעת המספרים הראשונים על משבצות לוח השחמט בצורה כזו שסכום המספרים בכל שורה, בכל טור ובכל אחד משני האלכסונים יהיה זהה; ויותר מכך, אם נחליף את כל המספרים בריבועים שלהם, הריבוע עדיין יישאר קסום." מיד ניגשתי לעבודה כדי לפתור את הבעיה הזו, ולמרות שהיא התבררה כאגוז קשה לפיצוח, זכיתי בגילוי של כמה חוקים מוזרים ויפים השולטים בה. ייתכן שהקורא ירצה לנסות את כוחו בפאזל.

    מקורות:

  • מסע הפרש הקסום

    הנה בעיה שעדיין לא נפתרה, וגם לא הוכחה אי-אפשרותה. שחקו עם הפרש פעם אחת בכל משבצת בלוח השחמט במסע שלם, ספרו את המשבצות לפי סדר הביקור, כך שכאשר תושלם, הריבוע יהיה "קסום," ויסתכם ל-`260` בכל טור, בכל שורה ובכל אחד משני האלכסונים הארוכים. אתן את התשובה הטובה ביותר שהצלחתי להשיג, שבה יש טעות קלה באלכסונים בלבד. האם ניתן למצוא פתרון מושלם? אני משוכנע שאי אפשר, אבל זו רק "דעה נלהבת."

    מקורות: