קומבינטוריקה, צביעות, צביעת שחמט

צביעת לוח שחמט משתמשת בתבנית המתחלפת של שחור ולבן בלוח שחמט סטנדרטי (או צביעות רשת דומות) ככלי לפתרון בעיות, במיוחד אלו הכוללות ריצוף, כיסוי או תנועה על רשתות. זהו יישום ספציפי של טיעוני אינווריאנט או זוגיות.

  • שתי סולמיות

    מהו המספר המרבי של צורות "דומינו" (מלבנים `1 times 2` או `2 times 1`) שניתן למקם בתוך הצורה הכתומה,
    כך שהם לא יעלו אחד על השני ולא יחרגו מחוץ לגבולות הצורה?

    מקורות:

  • הבעיה של הגראנד לאמה

    לפני זמן רב היה גראנד לאמה שהייתה לו לוח שחמט עשוי זהב טהור, חרוט בצורה מפוארת, וכמובן, בעל ערך רב. מדי שנה נערך טורניר בלהסה בין הכמרים, ובכל פעם שמישהו ניצח את הגראנד לאמה זה נחשב לכבוד גדול, ושמו נכתב על גב הלוח, ותכשיט יקר הוצב במשבצת המסוימת שבה ניתן השחמט. לאחר שהפונטיף הריבוני הזה הובס בארבעה מקרים הוא מת - אולי מצער. כעת הגראנד לאמה החדש היה שחקן שחמט נחות, והעדיף צורות אחרות של שעשוע תמים, כמו עריפת ראשים של אנשים. אז הוא פסל את השחמט כמשחק משפיל, שלא שיפר לא את המוח ולא את המוסר, וביטל את הטורניר באופן מיידי. ואז הוא שלח לארבעת הכמרים שהייתה להם החוצפה לשחק טוב יותר מגראנד לאמה, ופנה אליהם כדלקמן: "אנשים עלובים וכופרים, המכנים את עצמכם כמרים! האם אינכם יודעים שלטעון ליכולת לעשות משהו טוב יותר מקודמי הוא עבירה שעונשה מוות? קחו את לוח השחמט הזה ולפני שהשחר יעלה על חדר העינויים, חתכו אותו לארבעה חלקים שווים בעלי אותו צורה, שכל אחד מהם מכיל שישה עשר ריבועים מושלמים, עם אחד מהאבנים היקרות בכל חלק! אם תיכשלו בכך, אז יומצאו ספורט אחרים להנאתכם המיוחדת. לכו!" ארבעת הכמרים הצליחו במשימתם שנראתה חסרת סיכוי. האם תוכלו להראות כיצד ניתן לחלק את הלוח לארבעה חלקים שווים, שכל אחד מהם בעל אותו צורה בדיוק, על ידי חיתוכים לאורך הקווים המחלקים את הריבועים, כאשר כל חלק מכיל אחת מהאבנים היקרות? מקורות:

  • משפט לוח השחמט

     

    פעם שמתי לעצמי כמשימה משעשעת לנתח לוח שחמט רגיל לאותיות האלף-בית, כך שהן ייצרו משפט שלם. ניתן לראות מהאיור שהחלקים המורכבים יוצרים את המשפט "CUT THY LIFE," עם עצירות בין המילים. המשפט האידיאלי, כמובן, היה בעל עצירה אחת בלבד, אבל לא הצלחתי להשיג זאת.

    המשפט הוא קריאה לעבריין להתנתק מחיי הרשע שהוא חי. האם תוכלו לחבר את החלקים האלה כדי ליצור לוח שחמט מושלם?

    מקורות:

  • רצים - לא מוגנים

    הנח מספר מינימלי ככל האפשר של רצים על לוח שחמט רגיל, כך שכל משבצת בלוח תהיה מאוישת או מותקפת. ניתן לראות שלצריח יש טווח גדול יותר מלרץ: משום שבכל מקום שתציב את הראשון, הוא תמיד יתקוף ארבע עשרה משבצות אחרות; ואילו האחרון יתקוף שבע, תשע, אחת עשרה או שלוש עשרה משבצות, בהתאם למיקום האלכסון עליו הוא מונח. וכדאי כאן לציין שכאשר אנו מדברים על "אלכסונים" בהקשר ללוח השחמט, איננו מגבילים את עצמנו לשני האלכסונים הארוכים מפינה לפינה, אלא כוללים את כל הקווים הקצרים יותר המקבילים לקווים אלה. כדי למנוע אי הבנות בהמשך, כדאי שהקורא ישים לב לעובדה זו בקפידה. מקורות:

  • רצים - שמורים

    כמה רצים נחוצים כדי שכל משבצת תהיה מאויישת או מותקפת, וכל רץ יהיה שמור על ידי רץ אחר? ואיך ניתן למקם אותם? מקורות:

  • מתחת לצעיף

    אם הקורא יבחן את הדיאגרמה לעיל, הוא יראה שמיקמתי שמונה אותיות V, שמונה אותיות E, שמונה אותיות I ושמונה אותיות L בדיאגרמה כך שאף אות אינה נמצאת בקו אחד עם אות דומה לה אופקית, אנכית או אלכסונית. לכן, אף V אינו בקו אחד עם V אחר, אף E עם E אחרת, וכן הלאה. ישנן דרכים רבות ושונות לסדר את האותיות בתנאי זה. החידה היא למצוא סידור שמניב את המספר הגדול ביותר האפשרי של מילים בנות ארבע אותיות, בקריאה מלמעלה למטה ומלמטה למעלה, אחורה וקדימה, או באלכסון. כל החזרות נחשבות למילים שונות, וחמשת הוריאציות שניתן להשתמש בהן הן: VEIL, VILE, LEVI, LIVE ו-EVIL.

    זה יובהר לחלוטין כשאומר שהסידור לעיל מקבל ניקוד של שמונה, מכיוון שהשורה העליונה והתחתונה נותנות שתיהן VEIL; הטורים השני והשביעי נותנים שתיהן VEIL; ושני האלכסונים, החל מה-L בשורה החמישית וה-E בשורה השמינית, נותנים שתיהן LIVE ו-EVIL. לכן ישנן שמונה קריאות שונות של המילים בסך הכל.

    חידת מילים קשה זו ניתנת כדוגמה לשימוש בניתוח לוח שחמט בפתרון דברים כאלה. רק אדם שמכיר את בעיית "שמונה המלכות" יכול לקוות לפתור אותה.

    מקורות:

  • ביקור אפיסקופלי

    המשבצות הלבנות על לוח השחמט מייצגות את הקהילות של דיוקסיה. הניחו את הרץ על כל משבצת שתרצו, ותכננו כך ש (תוך שימוש בתנועת הרץ הרגילה בשחמט) הוא יבקר בכל אחת מהקהילות שלו במספר המהלכים המועט ביותר האפשרי. כמובן, כל הקהילות שעוברים דרכן בכל מהלך נחשבות כ"ביקורות". אתם יכולים לבקר בכל משבצת יותר מפעם אחת, אך אסור לכם לנוע פעמיים בין אותן שתי משבצות סמוכות. מהו מספר המהלכים המועט ביותר האפשרי? הרץ לא צריך לסיים את ביקורו בקהילה ממנה יצא לדרך לראשונה. מקורות:

  • סיור המלכה

    החידה של ביצוע סיור שלם בלוח השחמט עם המלכה במספר המהלכים המועט ביותר האפשרי (שבו ניתן לבקר בריבועים יותר מפעם אחת) ניתנה לראשונה על ידי סם לויד המנוח ב-אסטרטגיית שחמט שלו. אבל הפתרון המוצג להלן הוא זה שהוא נתן ב-אגוזי שחמט אמריקאים ב-`1868`. תיעדתי לפחות שישה פתרונות שונים במספר המינימלי של מהלכים - ארבעה עשר - אבל זה הטוב מכולם, מסיבות שאסביר. אם תסתכלו על הריבוע המסומן באותיות, תבינו שיש רק עשרה ריבועים שונים באמת בלוח שחמט - אלה התחומים בקו כהה - כל השאר הם רק היפוכים או שיקופים. לדוגמה, כל A הוא ריבוע פינתי, וכל J הוא ריבוע מרכזי. כתוצאה מכך, מכיוון שלפתרון המוצג יש נקודת מפנה בריבוע D התחום, אנו יכולים לקבל פתרון שמתחיל ומסתיים בכל ריבוע המסומן D - פשוט על ידי סיבוב הלוח. כעת, תוכנית זו תעניק לך סיור שמתחיל מכל A, B, C, D, E, F או H, בעוד שאף מסלול אחר שאני מכיר לא ניתן להתאמה ליותר מחמש נקודות התחלה שונות. אין סיור מלכה בארבעה עשר מהלכים (זכור שסיור חייב להיות חוזר) שיכול להתחיל מ-G, I או J. אבל יכולה להיות לנו דרך לא חוזרת על כל הלוח בארבעה עשר מהלכים, החל מכל ריבוע נתון. מכאן החידה הבאה: - התחל מ-J בחלק הסגור של הדיאגרמה המסומנת באותיות ובקר בכל ריבוע בלוח בארבעה עשר מהלכים, וסיים היכן שתרצה. מקורות:

  • ארבעת הקנגורו

    בהציגי בעיה קטנה מחבר העמים, עלי להסביר תחילה שהדיאגרמה מייצגת את שישים וארבעת השדות, כולם מגודרים כראוי זה מזה, של התיישבות אוסטרלית, אם כי אני בקושי צריך לומר שהקרובים שלנו "שם למטה" תמיד כן מסדרים את אדמתם בצורה שיטתית ומדויקת זו. ניתן לראות שבכל אחת מארבע הפינות יש קנגורו. מדוע לקנגורו יש העדפה בולטת לחלקות פינתיות מעולם לא הוסבר בצורה משביעת רצון, וזה לא יהיה במקום לדון בנקודה זו כאן. עלי להוסיף גם כי קנגורו, כפי שידוע, תמיד קופצים במה שאנו מכנים "מהלכי פרש." למעשה, שחקני שחמט כנראה היו מאמצים את המונח הטוב יותר "מהלך קנגורו" אם השחמט לא היה מומצא לפני קנגורו.

    החידה היא פשוטה. בוקר אחד כל קנגורו יצא לקפיצת הבוקר שלו, ובשש עשרה קפיצות פרש רצופות ביקר בחמישה עשר שדות שונים וחזר לפינה שלו. אף שדה לא ביקר על ידי יותר מאחד הקנגורו. הדיאגרמה מראה כיצד הם הסדירו את העניינים. מה שמבקשים מכם לעשות הוא להראות כיצד הם יכלו לבצע את המעשה מבלי שאף קנגורו יחצה את הקו האופקי באמצע הריבוע שמחלק את הלוח לשני חלקים שווים.

    מקורות:

  • שני הצריחים

    זוהי משחק חידה לשני שחקנים. לכל שחקן יש צריח אחד. השחקן הראשון מניח את הצריח שלו על כל משבצת בלוח שהוא בוחר, ואז השחקן השני עושה את אותו הדבר. עכשיו הם משחקים בתורות, כאשר המטרה של כל תור היא ללכוד את הצריח של היריב. אבל במשחק הזה אי אפשר לשחק דרך קו תקיפה מבלי להילכד. כלומר, אם בתרשים זה תורו של השחור לשחק, הוא לא יכול להזיז את הצריח שלו למשבצת של הפרש של המלך שלו, או למשבצת של הצריח של המלך שלו, כי הוא ייכנס ל"קו האש" כשהוא עובר על פני המשבצת של הרץ של המלך שלו. מאותה סיבה הוא לא יכול לעבור לצריח של המלכה שלו במשבצת השביעית או השמינית. עכשיו, המשחק לעולם לא יכול להסתיים בתיקו. במוקדם או במאוחר אחד הצריחים חייב ליפול, אלא אם כן, כמובן, שני השחקנים מבצעים את האבסורד של לא לנסות לנצח. הטריק לנצח הוא פשוט להפליא כשאתה יודע אותו. האם אתה יכול לפתור את החידה? מקורות: