שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני

• שאלה 121 - עץ או פלי

  קרוקס, מהמר כפייתי, אמר לאחרונה לחבר בגודווד, "אני מתערב איתך על חצי מהכסף שבכיסי על הטלת מטבע - אם ייצא עץ אני מנצח, אם ייצא פלי אני מפסיד." המטבע הוטל והכסף הועבר. הוא חזר על ההצעה שוב ושוב, בכל פעם הימר על חצי מהכסף שהיה ברשותו באותו רגע. לא נאמר לנו כמה זמן המשחק נמשך, או כמה פעמים הוטל המטבע, אבל אנחנו יודעים שמספר הפעמים שקרוקס הפסיד היה שווה בדיוק למספר הפעמים שהוא ניצח. האם הוא הרוויח או הפסיד מההרפתקה הקטנה הזו?
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 122 - חידת הנדנדה

  הצורך הוא אכן אם ההמצאה. נהניתי מאוד אתמול כשצפיתי בילד שרצה לשחק בנדנדה, ובשל כישלונו למצוא ילד אחר שיחלוק איתו את המשחק, הוא נאלץ לחזור אל הפתרון הגאוני של קשירת מספר לבנים לקצה אחד של הקרש כדי לאזן את משקלו בקצה השני.

  למעשה, הוא בדיוק התאזן מול שש-עשרה לבנים, כאשר אלה היו מחוברות לקצה הקצר של הקרש, אבל אם הוא חיבר אותן לקצה הארוך של הקרש הוא היה צריך רק אחת-עשרה לבנים כדי להתאזן.

  עכשיו, מה היה משקלו של הילד, אם לבנה שוקלת משקל שווה לשלושה רבעים של לבנה ושלושה רבעים של פאונד?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 123 - קושי משפטי

  "אחד הלקוחות שלי", אמר עורך דין, "היה על סף מוות כאשר אשתו עמדה ללדת לו ילד. ערכתי את צוואתו, שבה הוא העביר שני שלישים מעיזבונו לבנו (אם יקרה שזה יהיה בן) ושליש אחד לאם. אבל אם הילד תהיה בת, אז שני שלישים מהעיזבון צריכים לעבור לאם ושליש אחד לבת. למעשה, לאחר מותו נולדו תאומים - בן ובת. ואז עלתה נקודה נחמדה מאוד. איך לחלק את העיזבון בצורה הוגנת בין שלושתם בהתאם לרוח צוואתו של המנוח ככל האפשר?"
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים

• שאלה 124 - שאלה של הגדרה

  "השטח שלי הוא בדיוק מייל רבוע," אמר בעל קרקע אחד לשני.

  "באופן מוזר, שלי הוא מייל רבוע," הייתה התשובה.

  "אז אין הבדל?"

  האם האמירה האחרונה נכונה?

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים יחידות מידה

• שאלה 125 - חופשת הכורים

  שבעה כורי פחם יצאו לחופשה בחוף הים במהלך שביתה גדולה. שישה מהחבורה הוציאו בדיוק חצי ליש"ט כל אחד, אבל ביל האריס היה יותר פזרן. ביל הוציא שלושה שילינג יותר מהממוצע של החבורה. מה היה סכום ההוצאה המדויק של ביל?
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים

• שאלה 126 - כפל פשוט

  אם נמספר שישה כרטיסים `1, 2, 4, 5, 7`, ו-`8`, ונניח אותם על השולחן בסדר הזה:—

  `1\ \ \ 4\ \ \ 2\ \ \ 8\ \ \ 5\ \ \ 7`

  אנו יכולים להדגים שכדי להכפיל ב-`3` כל מה שצריך זה להעביר את ה-`1` לקצה השני של השורה, וזהו. התשובה היא `428571`. האם תוכלו למצוא מספר שכאשר מכפילים אותו ב-`3` ומחלקים ב-`2`, התשובה תהיה זהה כאילו הסרנו את הכרטיס הראשון (שבמקרה הזה צריך להיות `3`) מתחילת השורה לסופה?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה

• שאלה 127 - חילוק פשוט

  לפעמים שאלה פשוטה מאוד באריתמטיקה אלמנטרית תגרום למבוכה רבה. לדוגמה, אני רוצה לחלק את ארבעת המספרים, `701, 1,059, 1,417`, ו-`2,312`, במספר הגדול ביותר האפשרי שישאיר את אותה שארית בכל מקרה. איך אני אמור להתחיל לעבוד? כמובן, על ידי מערכת ניסויים מייגעת אפשר עם הזמן לגלות את התשובה, אבל יש שיטה די פשוטה לעשות זאת אם רק תוכל למצוא אותה.
  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית -> אלגוריתם אוקלידס תורת המספרים -> חלוקה

• שאלה 128 - בעיה בריבועים

  יש ברשותנו שלושה לוחות מרובעים. שטח הפנים של הראשון מכיל חמישה רגל רבוע יותר מהשני, והשני מכיל חמישה רגל רבוע יותר מהשלישי. האם תוכלו לתת מידות מדויקות עבור צלעות הלוחות? אם תוכלו לפתור את החידה הקטנה הזו, נסו למצוא שלושה ריבועים בסדרה חשבונית, עם הפרש קבוע של `7` וגם של `13`.
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• שאלה 129 - קרב הייסטינגס

  כל ההיסטוריונים יודעים שיש מידה רבה של מסתורין וחוסר ודאות בנוגע לפרטי הקרב הבלתי נשכח לעולם באותו יום גורלי, `14` באוקטובר `1066`. החידה שלי עוסקת בקטע מוזר בכרוניקה נזירית עתיקה שאולי לעולם לא תקבל את תשומת הלב הראויה לה, ואם אינני יכול לערוב לאותנטיות של המסמך, הוא בכל זאת ישמש אותנו כדי לספק לנו בעיה שקשה שלא תעניין את אותם קוראים שלי שיש להם נטיות אריתמטיות. הנה הקטע המדובר.

  "אנשיו של הרולד עמדו יחד היטב, כמנהגם, ויצרו שישים ואחת ריבועים, עם מספר שווה של אנשים בכל ריבוע מהם, ואוי לנורמני האמיץ שהעז להיכנס למעוזיהם; שכן מכה בודדת של גרזן מלחמה סקסוני תשבור את חניתו ותחתוך את מעיל השרשראות שלו.... כאשר הרולד השליך את עצמו לתוך המהומה, הסקסונים היו ריבוע אדיר אחד של אנשים, שצועקים את קריאות הקרב, 'Ut!' 'Olicrosse!' 'Godemitè!'"

  כעת, אני מגלה שכל הרשויות העכשוויות מסכימות שהסקסונים אכן נלחמו בסדר מוצק זה. לדוגמה, ב"Carmen de Bello Hastingensi," שיר המיוחס לגאי, הבישוף של אמיין, שחי בתקופת הקרב, נאמר לנו ש"הסקסונים עמדו קבועים במסה צפופה," והנרי מהנטינגדון רושם ש"הם היו כמו טירה, בלתי חדירים לנורמנים;" בעוד רוברט וייס, כעבור מאה שנה, מספר לנו את אותו הדבר. אז מבחינה זו הכרוניקה החדשה שלי עשויה שלא לטעות כל כך. אבל יש לי סיבה להאמין שמשהו לא בסדר עם המספרים בפועל. תן לקורא לראות מה הוא יכול לעשות מהם.

  מספר האנשים יהיה שישים ואחת פעמים מספר ריבועי; אבל כאשר הרולד עצמו הצטרף למהומה, הם הצליחו ליצור ריבוע גדול אחד. מהו המספר הקטן ביותר האפשרי של אנשים שיכולים היו להיות שם?

  כדי להבהיר לקורא את הפשטות של השאלה, אתן את הפתרונות הנמוכים ביותר במקרה של `60` ו-`62`, המספרים שמיד לפני ואחרי `61`. הם `60xx4^2+1 = 31^2`, ו-`62xx8^2+1=63^2`. כלומר, `60` ריבועים של `16` אנשים כל אחד יהיו `960` אנשים, וכאשר הרולד הצטרף אליהם הם יהיו `961` במספר, וכך יצרו ריבוע עם `31` אנשים בכל צד. באופן דומה במקרה של המספרים שנתתי עבור `62`. עכשיו, מצא את התשובה הנמוכה ביותר עבור `61`.

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• שאלה 130 - הבעיה של הפסל

  פסל קדום הוזמן לספק שני פסלים, כל אחד על גבי כן מעוקב. אנו עוסקים בכנים אלה. הם היו בגדלים שונים, כפי שניתן לראות באיור, וכאשר הגיע הזמן לתשלום התגלעה מחלוקת בשאלה האם ההסכם התבסס על מדידה קווית או מעוקבת. אך ברגע שהם באו למדוד את שני הכנים, העניין הוסדר מיד, מכיוון שמספר הרגליים הקווי היה זהה בדיוק למספר הרגליים המעוקב. החידה היא למצוא את המידות לשני כנים בעלי תכונה זו, במספרים הקטנים ביותר האפשריים. אתם מבינים, אם שני הכנים, למשל, מודדים `3` רגל ו-`1` רגל בכל צד, אז המדידה הקווית תהיה `4` רגל והתכולה המעוקבת `28` רגל, שאינם זהים, כך שהמידות האלה לא יתאימו.
  נושאים:

  תורת המספרים גאומטריה -> גאומטריה במרחב אריתמטיקה -> שברים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות