תורת המספרים, חשבון השאריות

חשבון מודולרי (או חשבון שאריות) הוא מערכת שבה מספרים 'מתעגלים' לאחר הגעה לערך מסוים, המודולוס. הוא עוסק בקונגרואנציות ובשאריות. שאלות כוללות פתרון משוואות במערכות מודולריות, מציאת חזקות מודולו `n`, ויישומים בתבניות או קריפטוגרפיה.

• חילוק סופי

  מצאו את כל ה x,y,z,w השלמים שמקיימים `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תרגילי הנבחרת הצעירה למדעים, 2024-2025, מטלה 1 שאלה 5

• נחלק ב-13

  על דף נייר רושמים את כל המספרים הטבעיים בין 1 ל 2006, ומבצעים סדרת פעולות כמתואר להלן. בכל שלב מוחקים מספר כלשהו של מספרים מהרשימה ומסמנים את סכומם ב S. במקום המספרים שנמחקו מוסיפים מספר יחיד שהוא השארית המתקבלת מהחלוקה של S ב 13. לאחר מספר כלשהו של צעדים כאלו נותרו על הנייר שני מספרים בלבד. אחד מהם הוא 100. מצא את המספר השני.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 2

• התמיהה של המיליונר

  למר מורגן ג. בלומגרטן, המיליונר, הידוע במדינות כמלך הצדפות, היו, בשל חטאיו, יותר כסף ממה שידע מה לעשות איתו. זה שיעמם אותו. אז הוא החליט לרדות בכמה מחבריו העניים אך המאושרים עם זה. הם מעולם לא עשו לו שום נזק, אבל הוא החליט לחסן אותם עם "מקור כל הרוע". לכן הציע לחלק מיליון דולר ביניהם ולצפות בהם הולכים במהירות למצב רע. אבל הוא היה איש של פנטזיות ואמונות טפלות מוזרות, וזה היה כלל בלתי מעורער מבחינתו לעולם לא לתת מתנה שהיא לא דולר אחד או חזקה כלשהי של שבע—כגון `7, 49, 343, 2,401`, שמספרי הדולרים האלה מיוצרים פשוט על ידי הכפלת שביעיות יחד. כלל נוסף שלו היה שהוא לעולם לא ייתן ליותר משישה אנשים בדיוק את אותו סכום. עכשיו, איך הוא היה אמור לחלק את `1,000,000` הדולרים? אתה יכול לחלק את הכסף בין כמה אנשים שאתה רוצה, בתנאים הנתונים.
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 16

• לתפוס את העכברים

   

  "שחקו честно!" אמרו העכברים. "אתם מכירים את חוקי המשחק."

  "כן, אני מכיר את החוקים," אמר החתול. "אני צריך להסתובב במעגל, בכיוון שבו אתם מסתכלים, ולאכול כל עכבר שלושה-עשר, אבל אני חייב לשמור את העכבר הלבן לפינוק בסוף. שלושה עשר הוא מספר חסר מזל, אבל אעשה כמיטב יכולתי להיענות לבקשתכם."

  "תזדרז אם כן!" צעקו העכברים.

  "תנו לבחור זמן לחשוב," אמר החתול. "אני לא יודע באיזה מכם להתחיל. אני חייב להבין את זה.

  "בזמן שהחתול פתר את החידה הוא נרדם, וכך הכישוף נשבר, והעכברים חזרו הביתה בשלום. באיזה עכבר היה צריך החתול להתחיל לספור כדי שהעכבר הלבן יהיה האחרון שנאכל?

  כאשר הקורא פתר את החידה הקטנה הזו, הנה חידה שנייה בשבילו. מהו המספר הקטן ביותר שהחתול יכול לספור סביב המעגל, אם הוא חייב להתחיל בעכבר הלבן (לקרוא לזה "אחד" בספירה) ועדיין לאכול את העכבר הלבן אחרון מכולם?

  וכחידה שלישית נסו לגלות מהו המספר הקטן ביותר שהחתול יכול לספור סביב אם הוא חייב להתחיל בעכבר הלבן (לקרוא לזה "אחד") ולהפוך את העכבר הלבן לשלישי שנאכל.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 232

• שאלה

  a₁, a₂, ..., a₁₀₁ הם תמורה של 2,3,4, ... ,102 . כך ש a_i מתחלק ב-i לכל i. מצא/י את כל התמורות מסוג זה.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 3

• שאלה

  נתונים שני מספרים טבעיים `k`  ו- `m` השונים זה מזה בסדר ספרותיהם (כלומר, אחד מתקבל מהשני באמצעות החלפת סדר הספרות).

  א. הוכיחו שסכום הספרות של `2k` שווה לסכום הספרות של `2m`.

  ב. הוכיחו כי אם `k` ו-`m` זוגיים, אז שסכום הספרות של \(k\over 2\)  שווה לסכום הספרות של \({m \over 2}\).

  ג. הוכיחו שסכום הספרות של `5k` שווה לסכום הספרות של `5m`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות

• שאלה

  על הלוח כתוב המספר `458`. בכל מהלך בודד מותר או להכפיל את המספר שכתוב על הלוח פי `2`, או למחוק את הספרה האחרונה שלו.

  האם אפשר בעזרת הפעולות האלו לקבל את המספר `14`?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  האם יתכן שסכום של שלושה מספרים טבעיים יתחלק בכל אחד מהם?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  הוכיחו כי הפרש ריבועים של שני מספרים אי-זוגיים עוקבים מתחלק ב-`8`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  הוכיחו כי מכפלה של שלושה מספרים עוקבים מתחלקת ב-`6`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים