תורת המספרים, חשבון השאריות

חשבון מודולרי (או חשבון שאריות) הוא מערכת שבה מספרים 'מתעגלים' לאחר הגעה לערך מסוים, המודולוס. הוא עוסק בקונגרואנציות ובשאריות. שאלות כוללות פתרון משוואות במערכות מודולריות, מציאת חזקות מודולו `n`, ויישומים בתבניות או קריפטוגרפיה.

• שאלה

  נתונים n,a,b טבעיים ככה ש`3n+1=a^2` וגם `4n+1=b^2` הוכיחו כי

  א. n מתחלק ב 8 (קל יותר)

  ב. n מתחלק ב 56

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 5

• שאלה

  נתון מצולע משוכלל בעל n קודקודים. חשבו את כמות המשולשים השונים (לא חופפים) שקודקודיהם מתלכדים עם קודקודי המצולע

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 4 שאלה 3

• מי המספר?

  מצאו מספר תלת ספרתי, שאם נוסיף לו 1, הוא יתחלק ב-7, אם נוסיף לו 2, הוא יתחלק ב-8, ואם נוסיף לו 3, הוא יתחלק ב-9

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 4

• שאלה

  נתבונן בכל המספרים מ-1 עד 4242. מצאו את ההפרש בין כמות המספרים האי זוגיים שמתחלקים ב-3
  לבין כמות המספרים שמתחלקים ב-7בתחום זה.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 5

• פומבה והסוכריות

  לפומבה יש 11 סוכריות שוקולד ו-13 סוכריות טופי. בכל פעם הוא יכול לאכול או שתי סוכריות מסוגים שונים,
  או שלוש סוכריות מאותו הסוג. מה הוא המספר הגדול ביותר של סוכריות שפומבה יוכל לאכול לפי הכללים האלה?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 6

• שאלה

  על הלוח כתוב מספר דו ספרתי.
  אבי אמר: "ספרת היחידות של המספר היא 3"
  בני אמר: "זה מספר ריבועי"
  גילי אמרה: "המספר הזה הוא כפולה של 12"
  אז המורה אמרה: "יש פה שני משפטים נכונים ואחד שגוי".
  איזה מספר היה כתוב על הלוח?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 1

• שאלה

  ורד החסירה ממספר תלת ספרתי את המספר המורכב מאותן הספרות שכתובות בסדר הפוך.
  כתוצאה היא קיבלה מספר דו ספרתי. מצאו את המספר הדו ספרתי שהיא קיבלה.

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה לוגיקה -> הגיון
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 2

• 2 או 5 אבל לא 3

  כמה מספרים דו ספרתיים מתחלקים ב-2 או ב-5, ולא מתחלקים ב-3?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 6

• שאלה

  על הלוח כתוב מספר דו ספרתי.
  אבי אמר: "במספר הזה מופיעה הספרה 5"
  בני אמר: "זה הוא מספר ריבועי"
  גילי אמרה: "המספר הזה גדול מ-50"
  דני אמר: "המספר מתחלק ב-7."
  אז המורה אמרה: "יש פה שלושה משפטים נכונים ואחד שגוי".
  איזה מספר היה כתוב על הלוח?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 1

• מספרים עוקבים

  א. אבי רוצה למצוא 10 מספרים עוקבים שסכומם יתחלק ב-90.האם הוא יצליח?
  ב. בני רוצה למצוא 11 מספרים עוקבים כך שסכומם יתחלק ב-90.האם הוא יצליח?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, גמר, כיתות ה-ו שאלה 4