תורת הקבוצות

תורת הקבוצות היא תאוריה מתמטית יסודית של קבוצות, או אוספים של אובייקטים. היא עוסקת בפעולות על קבוצות (איחוד, חיתוך, משלים, הפרש), תכונות של קבוצות (עוצמה, תת-קבוצות) ויחסים בין קבוצות. שאלות כוללות דיאגרמות ון, סימון קבוצות ותכונות.

• שאלה

  נתבונן במספרים שלמים מ-`1` עד `700`.

  א. כמה מהמספרים האלה זוגיים?

  ב. כמה מהמספרים האלה מתחלקים ב-`7`?

  ג. כמה מהמספרים האלה לא מתחלקים לא ב-`2`, לא ב-`7`?

  ענו את התשובה לסעיף ג

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> התאמות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית תורת הקבוצות

• שאלה

  בכיתה של אליס כל תלמיד משתתף לפחות באחד מהחוגים הבאים: אנגלית ודרמה. בכיתה הזאת יש `30` תלמידים, `20` מהם לומדים אנגלית, ו-`15` לומדים דרמה. כמה תלמידים לומדים בשני החוגים?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת הקבוצות

• שאלה

  נתונים `50` מספרים טבעיים שונים בין `1` ל-`100`. ידוע כי אין בינם שני מספרים שסכומם שווה ל-`100`. האם נכון שאחד מהמספרים האלה חייב להיות ריבוע שלם?

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אריתמטיקה קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> התאמות לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת הקבוצות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  מכשף זימן אליו `20` אבירים, שמתוכם `10` אלפים ו-`10` גמדים. המכשף רוצה לבחור מתוכם צוות שיבצע משימה סודית. על הצוות הזה להכיל כמויות שוות של אלפים וגמדים.

  כמה יש אפשרויות לצוות כזה? (שימו לב הוא לא יכול לבחור צוות ריק)

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> מקדמים בינומיים ומשולש פסקל תורת הקבוצות

• עוד מספרים בספרות עולות

  מירי רושמת את כל המספרים שברישום העשרוני שלהם מופיעות רק הספרות `1, 2, 3, 4, 5, 6`
  (לא כל הספרות חייבות להופיע) וכל הספרות שמופיעות רשומות בסדר עולה (למשל 1356 או 124 או 5 אבל לא 162 ולא 1223).
  כמה מספרים מירי תרשום?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> כלל המכפלה תורת הקבוצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 7

• לטיול יצאנו

  כיתה ד', המונה 32 תלמידים, יצאה לטיול. על התלמידים היה להביא כובעים, משקפי שמש ובקבוקי שתייה.
  אין ילד ששכח את כל הדברים האלה, אבל:

  • מבין התלמידים שהביאו כובעים,9 שכחו משקפי שמש,
  • מבין התלמידים שהביאו משקפי שמש,7 שכחו בקבוקי שתייה,
  • ומבין התלמידים שהביאו בקבוקי שתייה,10 שכחו משקפי שמש.

  כמה מהתלמידי מהכיתה הביאו את כל מה שדרוש לטיול?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון תורת הקבוצות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ה-ו שאלה 2

• קבוצות במישור

  א. האם קיימת במישור קבוצה A שחיתוכה עם כל מעגל מכיל שתי נקודות בדיוק?

  ב. האם קיימת במישור קבוצה B שחיתוכה עם כל מעגל ברדיוס 1 מכיל שתי נקודות בדיוק?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת הקבוצות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 3