Tournament of Towns, 1981-1982, Spring

• 问题

  找出所有能被30整除且恰好有30个不同因数的数（输入它们的数量来检查答案）

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  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 数论 -> 素数 -> 素因数分解

• 问题

  在一个四边形中，所有对角线和所有边的长度都小于 1。证明可以用半径为 0.9 的圆覆盖该四边形。

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  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 圆 最小值和最大值问题/优化问题

• 问题

  在某个国家有超过 101 个城市。首都通过航线与 100 个城市相连，而除了首都以外的每个城市都通过航线与恰好 10 个城市相连。已知从任何一个城市都可以到达任何其他城市（可能不是直达）。证明可以关闭一半通往首都的航线，这样从任何一个城市到任何其他城市的可达性仍然保持。

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  主题：

  组合数学 -> 图论 逻辑学 -> 推理/逻辑 证明与示例

• 问题

  给定序列 `1 , 1/2 ,1/3 ,1/4 ,1/5,...`，是否存在一个由上述序列的项组成的等差数列？

  1. 长度为 5

  2. 任意长度

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  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 证明与示例 -> 构造示例/反例 代数学 -> 数列 -> 等差数列 算术 -> 分数 数论 -> 最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）