שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני

• שאלה 31 - כלכלה ביתית

  גברת פרקינס הצעירה, מפטני, כותבת לי כדלקמן: "אודה לך מאוד אם תוכל לתת לי את התשובה לתרגיל קטן שמטריד אותי מאוד לאחרונה. הנה הוא: אנחנו נשואים רק זמן קצר, ועכשיו, בתום שנתיים מהזמן שהקמנו משק בית, בעלי אומר לי שהוא מגלה שהוצאנו שליש מההכנסה השנתית שלו על שכר דירה, ארנונה ומסים, חצי על הוצאות משק בית ותשיעית בדרכים אחרות. יש לו יתרה של £`190` שנותרה בבנק. אני יודעת את זה, כי הוא השאיר בטעות את פנקס החשבון שלו אתמול, והצצתי לתוכו. אתה לא חושב שבעל צריך לתת לאשתו את כל הביטחון שלו בענייני הכסף שלו? ובכן, אני כן; ו—תאמין לזה?—הוא מעולם לא אמר לי מה ההכנסה שלו באמת, ואני רוצה, באופן טבעי מאוד, לגלות. אתה יכול להגיד לי מה זה מהמספרים שנתתי לך?"

  כן; ניתן בהחלט לתת את התשובה מהמספרים הכלולים במכתבה של גברת פרקינס. והקוראים שלי, אם לא יוזהרו, יהיו כמעט פה אחד בהצהרה שההכנסה היא—משהו מופרך לחלוטין מעל התשובה הנכונה!

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים

• שאלה 32 - חידת כרטיס הנסיעה

  כאשר הכרזות הגדולות והלוהטות הוצגו בתחנת הרכבת המחוזית הקטנה, והודיעו שהחברה הגדולה —— תפעיל רכבות נסיעה זולות ללונדון לחופשת חג המולד, תושבי Mudley-cum-Turmits היו בהתרגשות רבה. חצי שעה לפני שהרכבת הגיעה, משרד הכרטיסים הקטן היה צפוף בנוסעים כפריים, כולם נחושים לבקר את חבריהם במטרופולין הגדולה. פקיד הכרטוס לא היה רגיל להתמודד עם קהל ממדים כאלה, והוא סיפר לי אחר כך, תוך שהוא מנגב את מצחו הגברי, שמה שגרם לו לכל כך הרבה צרות היה העובדה שהכפריים האלה שילמו את דמי הנסיעה שלהם בהרבה מאוד כסף קטן.

  הוא אמר שהיו לו מספיק רבעי פרוטה כדי לספק לחנות בגדים בווסט אנד עודף לשבוע, ומספר מספיק של מטבעות של שלושה פני עבור קהילות של שלוש כנסיות קהילתיות. "דמי הנסיעה האלה," אמר, "הם תשעה עשר שילינג ותשעה פני, ואני רוצה לדעת בכמה דרכים שונות אפשר לשלם סכום כזה במטבע הנוכחי של הממלכה הזו."

  הנה, אם כן, חידה: בכמה דרכים שונות ניתן לשלם תשעה עשר שילינג ותשעה פני במטבע הנוכחי שלנו? זכרו שמטבע של ארבעה פני אינו בתוקף כעת.

  נושאים:

  קומבינטוריקה

• שאלה 33 - חידה בהיפוכים

  רוב האנשים יודעים שאם לוקחים סכום כסף כלשהו בלירות, שילינגים ופני, שבו מספר הלירות (פחות מ-£`12`) עולה על מספר הפני, הופכים אותו (קוראים ללירות פני ולפני לירות), מוצאים את ההפרש, ואז הופכים ומוסיפים את ההפרש הזה, התוצאה היא תמיד £`12, 18`s. `11`d. אבל אם נשמיט את התנאי, "פחות מ-£`12`", וניתן לאפס לייצג שילינגים או פני—(`1`) מהו הסכום הנמוך ביותר שעליו הכלל לא יחול? (`2`) מהו הסכום הגבוה ביותר שעליו הוא יחול? כמובן, כאשר הופכים סכום כזה כמו £`14, 15`s. `3`d., ניתן לכתוב אותו £`3, 16`s. `2`d., שהוא זהה ל-£`3, 15`s. `14`d.
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה 34 - המוכר והבַּדָּר

  ל"מוכר ובַּדָּר" כפרי היו שני עוזרים יריבים, שהתגאו במהירותם בשירות לקוחות. הצעיר בצד המכולת יכול היה לשקול שתי חבילות סוכר של ליברה אחת לדקה, בעוד עוזר הבדים יכול היה לחתוך שלושה אורכים של יארד אחד של בד באותו זמן. המעסיק שלהם, ביום רגוע אחד, ערך להם מרוץ, נתן למוכר חבית סוכר ואמר לו לשקול ארבעים ושמונה חבילות סוכר של ליברה אחת, בעוד הבַּדָּר חילק גליל של ארבעים ושמונה יארד של בד לחתיכות של יארד. שני הגברים הופרעו יחד על ידי לקוחות במשך תשע דקות, אך הבַּדָּר הופרע פי שבע עשרה יותר זמן מהמוכר. מה הייתה תוצאת המרוץ?
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים יחידות מידה

• שאלה 35 - הבקר של ג'אדקינס

  היירם ב. ג'אדקינס, סוחר בקר מטקסס, היו לו חמש עדרי חיות, שהורכבו משוורים, חזירים וכבשים, עם אותו מספר חיות בכל עדר. בוקר אחד הוא מכר את כל מה שהיה לו לשמונה סוחרים. כל סוחר קנה את אותו מספר חיות, שילם שבעה עשר דולר עבור כל שור, ארבעה דולר עבור כל חזיר ושני דולר עבור כל כבש; והיירם קיבל בסך הכל שלוש מאות ואחד דולר. מהו המספר הגדול ביותר של חיות שיכל להיות לו? וכמה יהיו מכל סוג?
  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> בעיות מילוליות תורת המספרים -> חלוקה

• שאלה 36 - קניית תפוחים

  מכיוון שרכישת תפוחים בכמויות קטנות תמיד הציגה קשיים ניכרים, אני חושב שכדאי להציע כמה הערות בנושא זה. כולנו מכירים את הסיפור על הילד החכם אשר, כשסופר לו על ידי הזקנה שהיא מוכרת את התפוחים שלה בארבעה שילינג לשלושה, אמר: "תן לי לראות! ארבעה שילינג לשלושה; זה שלושה לשני שילינג, שניים לפני, אחד בחינם—אני אקח אחד!"

  ישנם מקרים דומים של בלבול. לדוגמה, ילד הרים פעם תפוח של פני אחד מדוכן, אך כשנודע לו שהאגסים של האישה באותו מחיר, הוא החליף אותו ועמד ללכת. "עצור!" אמרה האישה. "לא שילמת לי על האגס!" "לא," אמר הילד, "כמובן שלא. נתתי לך את התפוח בשבילו." "אבל לא שילמת על התפוח!" "תברך את האישה! את לא מצפה שאשלם גם על התפוח וגם על האגס!" ולפני שהיצור המסכן הצליח לצאת מהסבך, הילד נעלם.

  אז, שוב, יש לנו את המקרה של האיש שנתן לילד שישה פני והבטיח לחזור על המתנה ברגע שהצעיר יהפוך אותה לתשעה פני. כעבור חמש דקות חזר הילד. "הפכתי את זה לתשעה פני," הוא אמר, ובאותו זמן מסר למיטיבו שלושה פני. "איך אתה מסביר את זה?" הוא נשאל. "קניתי תפוחים בשלושה פני." "אבל זה לא הופך את זה לתשעה פני!" "אני חושב שכן," הייתה תשובת הילד. "לאישה של התפוחים יש שלושה פני, נכון? בסדר גמור, יש לי תפוחים בשלושה פני, וזה עתה נתתי לך את שלושת הפני האחרים. מה זה אם לא תשעה פני?"

  אני מצטט את המקרים האלה רק כדי להראות שהילד הקטן באמת זקוק להדרכה קטנה באמנות קניית התפוחים. אז אתן פוזר פשוט העוסק בענף מסחר זה.

  לאישה זקנה היו תפוחים בשלושה גדלים למכירה—אחד בפני אחד, שניים בפני אחד ושלושה בפני אחד. כמובן ששניים מהגודל השני ושלושה מהגודל השלישי היו שווים בהתאמה לתפוח אחד מהגודל הגדול ביותר. כעת, ג'נטלמן שהיו לו מספר שווה של בנים ובנות נתן לילדיו שבעה פני לבזבז ביניהם על כל התפוחים הללו. החידה היא לתת לכל ילד חלוקה שווה של תפוחים. איך בוזבזו שבעת הפני, וכמה ילדים היו?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 37 - קניית ערמונים

  אף על פי שהחידה הקטנה הבאה עוסקת ברכישת ערמונים, היא עצמה אינה מסוג ה-"ערמונים". היא די חדשה. ממבט ראשון יש לה בהחלט מראה של חידת "שטויות", אבל הכל בסדר כשמתייחסים אליה כראוי.

  אדם הלך לחנות לקנות ערמונים. הוא אמר שהוא רוצה ערמונים בפני אחד, וקיבל חמישה ערמונים. "זה לא מספיק; אני צריך לקבל שישית," הוא העיר! "אבל אם אתן לך עוד ערמון אחד," ענה המוכר, "יהיו לך חמישה יותר מדי." עכשיו, באופן מוזר, שניהם צדקו. כמה ערמונים צריך הקונה לקבל תמורת חצי כתר?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים

• שאלה 38 - גנב האופניים

  הנה תסבוכת קטנה שצצה תדיר בגלגולים שונים. רוכב אופניים קנה אופניים ב-£`15` ושילם באמצעות צ'ק על סך £`25`. המוכר הלך לבעל חנות סמוכה וביקש ממנו לפרוט את הצ'ק, ורוכב האופניים, לאחר שקיבל את עודף ה-£`10` שלו, עלה על האופניים ונעלם. הצ'ק התברר כחסר ערך, והמוכר התבקש על ידי שכנו להחזיר את הסכום שקיבל. כדי לעשות זאת, הוא נאלץ ללוות £`25` מחבר, מכיוון שרוכב האופניים שכח להשאיר את כתובתו, ולא ניתן היה למצוא אותו. עכשיו, מכיוון שהאופניים עלו למוכר £`11`, כמה כסף הוא הפסיד בסך הכל?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 39 - החידה של ירקן הירקות

  "כמה שילמת על התפוזים האלה, ביל?"

  "אני לא הולך לספר לך, ג'ים. אבל הורדתי את הזקן בארבעה פני למאה."

  "מה זה עזר לך?"

  "ובכן, זה אומר חמישה תפוזים נוספים על כל עשרה שילינג."

  עכשיו, איזה מחיר שילם ביל בפועל על התפוזים? יש רק תעריף אחד שיתאים להצהרות שלו.

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 40 - גיל של אמא

  טומי: "בת כמה את, אמא?"

  אמא: "תן לי לחשוב, טומי. ובכן, שלושת הגילאים שלנו מסתכמים בדיוק לשבעים שנה."

  טומי: "זה הרבה, לא? ובן כמה אתה, אבא?"

  אבא: "פי שישה ממך, בני."

  טומי: "האם אי פעם אהיה בחצי מהגיל שלך, אבא?"

  אבא: "כן, טומי; וכאשר זה יקרה שלושת הגילאים שלנו יסתכמו בדיוק כפול ממה שהם היום."

  טומי: "ונניח שנולדתי לפניך, אבא; ונניח שאמא שכחה הכל, ולא הייתה בבית כשבאתי; ונניח——"

  אמא: "נניח, טומי, שנדבר על מיטה. בוא, יקירי. יהיה לך כאב ראש."

  עכשיו, אם טומי היה מבוגר בכמה שנים, הוא היה יכול לחשב את הגילאים המדויקים של הוריו מהמידע שהם נתנו לו. האם תוכלו לגלות את הגיל המדויק של אמא?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות