שאלות מהאולימפיאדה לצעירים, תשע"ח

שאלה מהמקורות: שלב א, כיתות ה-ו(3)

לסבתא חנה יש הרבה עציצים עם פרחים בבית. יום אחד הגיעו אליה שלושת הנכדים שלה, אבי, בני וגילי, וניסו לנחש כמה עציצים יש לה.
אבי אמר: "לסבתא יש יותר מ-8 עציצים",
בני אמר: "יותר מ-10, לדעתי",
ואז גילי אמרה: "לסבתא חנה יש לפחות 12 עציצים".
"שניים מכם צדקו, ומישהו אחד טעה"–ענתה הסבתא. אז כמה עציצים יש לה בבית?

אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

מקורות:

האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 3

שאלה מהמקורות: שלב א, כיתות ה-ו(4) - מי המספר?

מצאו מספר תלת ספרתי, שאם נוסיף לו 1, הוא יתחלק ב-7, אם נוסיף לו 2, הוא יתחלק ב-8, ואם נוסיף לו 3, הוא יתחלק ב-9

תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה

מקורות:

האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 4

שאלה מהמקורות: שלב א, כיתות ה-ו(5)

נתבונן בכל המספרים מ-1 עד 4242. מצאו את ההפרש בין כמות המספרים האי זוגיים שמתחלקים ב-3
לבין כמות המספרים שמתחלקים ב-7בתחום זה.

תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> חלוקה

מקורות:

האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 5

שאלה מהמקורות: שלב א, כיתות ה-ו(6) - משושה

בציור משושה משוכלל. פי כמה השטח הלבן גדול יותר מהשטח המקווקו?

(משושה משוכלל הוא משושה שכל הצלעות שלו שוות וכל הזוויות שלו שוות)

גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים

מקורות:

האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 6

שאלה מהמקורות: שלב א, כיתות ה-ו(7) - חילוק ארוך

חשבו את ערך הביטוי ורשמו אותו כשבר עשרוני:

`1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1))))`

אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> חלוקה

מקורות:

האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 7

שאלה מהמקורות: שלב א, כיתות ג-ד(8), שלב א, כיתות ה-ו(8) - הפרשים בלוח הכפל

צובעים את לוח הכפל `10xx10` בצביעת שחמט שחור ולבן, כך שהמשבצת של `1xx1` צבועה בשחור.
מצאו את ההפרש בין סכום כל המספרים במשבצות השחורות לסכום כל המספרים במשבצות הלבנות.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

אריתמטיקה קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט

מקורות:

שאלה מהמקורות: גמר, כיתות ג-ד(1) - צעצועים

ליונתן יש אוסף של צעצועי עץ. חלקם קוביות וחלקם כדורים, חלקם אדומים וחלקם כחולים.

ידוע שיש יותר כדורים מאשר קוביות, וידוע שיש יותר צעצועים כחולים מאשר צעצועים אדומים.

הוכיחו כי יש ליונתן כדור כחול.

קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

מקורות:

האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 1

שאלה מהמקורות: גמר, כיתות ג-ד(2) - החרגול

ישנו דף משבצות אינסופי, באחת המשבצות שלו יושב חרגול. החרגול יודע לקפוץ שתי משבצות בכל כיוון אופקי או אנכי, והוא יודע לקפוץ למשבצת הסמוכה לפי אלכסון. האם יוכל החרגול להגיע אי פעם למשבצת שסמוכה למשבצת ההתחלתית לפי צלע?

קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט

מקורות:

האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 2

שאלה מהמקורות: גמר, כיתות ג-ד(3) - ספרות במעגל

ספרות מ-1 עד 5 כתובות במעגל בסדר כלשהו. דני סיכם חמישה מספרים דו ספרתיים הנוצרים מזוגות
של ספרות שכנות על המעגל (בכיוון השעון). מצאו את כל האפשרויות לסכום זה.

אריתמטיקה

מקורות:

האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 3

שאלה מהמקורות: גמר, כיתות ג-ד(4) - מכפלות שטחים

בציור מלבן ונקודה בתוכו. מעבירים דרך הנקודה שני קטעים מקבילים לצלעות המלבן שמחלקים את המלבן ל-4 מלבנים קטנים יותר.
הוכיחו כי מכפלת השטחים המקווקוים בתוך המלבן שווה למכפלת השטחים הלבנים בתוך המלבן.

גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> משוואות

מקורות:

האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 4

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100