אלגברה, טכניקה אלגברית

נושא זה מתמקד בשיטות ובמיומנויות הספציפיות המשמשות למניפולציה ופישוט של ביטויים אלגבריים, כגון פירוק לגורמים, פתיחת סוגריים, כינוס איברים דומים, עבודה עם שברים ופישוט רדיקלים. שאלות דורשות יישום מיומן של טכניקות אלו.

• שאלה

  מצאו את ערך הביטוי ללא מחשבון:

  `(sqrt(sqrt(2)-1))/(sqrt(sqrt(2)+1))+ (sqrt(sqrt(3)-sqrt(2)))/(sqrt(sqrt(3)+sqrt(2)))+ (sqrt(2-sqrt(3)))/(sqrt(2+sqrt(3)))`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> כפל בצמוד

• מספרים בריבוע

  איילה לקחה את כל המספרים שמתחלקים ב-3 מ-1 עד 99 כולל והעלתה את כל אחד מהם בריבוע, סכמה את התוצאות, ואת המספר שהתקבל הכפילה פי 2.
  ברווז לקח את כל המספרים שלא מתחלקים ב-3 מ-1 עד 100 כולל,העלה את כל אחד מהם בריבוע וסכם את התוצאות.
  מה ההפרש בין המספר שברווז קיבל למספר שאיילה קיבלה?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 4

• שאלה

  חשבו את הסכום:

  `1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(99*100)`

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> שברים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• שאלה

  חשבו את המכפלה:

  `(1-1/2)(1-1/3)(1-1/4)*...*(1-1/100)`

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> שברים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• שאלה

  חשבו את ערך הביטוי (ללא מחשבון):

  `(1+1/(2^2-1))(1+1/(3^2-1))(1+1/(4^2-1))*...*(1+1/(99^2-1))`

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> סדרות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• 50 בחזקת

  הראו כי ב504 הספרות הימניות של `1+50+50^2+...+50^1000`

  מופיעה כל ספרה בכמות שמתחלקת ב 12 פעמים

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 2

• שורשים מחולקים

  מצאו את הסכום `1/{sqrt1+sqrt2}+1/{sqrt2+sqrt3}+...+1/{sqrt99+sqrt100}`.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים
  מקורות:
  • תרגילי הנבחרת הצעירה למדעים, 2024-2025, מטלה 1 שאלה 2

• שאלה

  מה יותר גדול ופי כמה:
  `(1 + 2/3) (2 + 3/4) ... (998 + 999/1000)` או `(3 + 2/1) (4 + 3/2) ... (1000 + 999/998)`

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> סדרות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ז שאלה 6
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ח שאלה 4

• שאלה

  חשב את ערך הביטוי `(1/(1*100) + 1/(2*99) + 1/(3*98) + ... + 1/(49*52) + 1/(50*51))/(1/1+1/2+1/3+1/4+...+1/99+1/100)`

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"ב, שלב א שאלה 6

• שאלה

  נתון a,b,c מספרים רציונליים שונים הוכיחו כי `sqrt{1/(a-b)^2+1/(b-c)^2 +1 /(c-a)^2}`

  רציונלי

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 3