אלגברה, טכניקה אלגברית
נושא זה מתמקד בשיטות ובמיומנויות הספציפיות המשמשות למניפולציה ופישוט של ביטויים אלגבריים, כגון פירוק לגורמים, פתיחת סוגריים, כינוס איברים דומים, עבודה עם שברים ופישוט רדיקלים. שאלות דורשות יישום מיומן של טכניקות אלו.
נוסחאות כפל מקוצר סכומים טלסקופיים שורשים כפל בצמוד-
יחסי התשובות של משוואות ריבועיות
נתונה משוואה ריבועית `ax^2+bx+c=0` ופתרונותיה הם `x_{1,2}={-b+-sqrt{b^2-4ac}}/{2a}`.
א: הראו שמתקיימות משוואות וייאטה:`x_1x_2=c/a` `x_1+x_2=-b/a,`.
ב: הביעו את הביטויים הבאים במונחי a,b,c: `1/{x_1^2}+1/{x_2^2}` `1/x_1+1/x_2, ` `x_1^3+x_2^3,` `x_1^2+x_2^2`.
מקורות: -
פירוק ושימוש בנוסחה
נוסחה מענינת היא `x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)`.
א: היעזרו בה ופרקו לגורמים את הביטוי `a^n-b^n`.
ב: פרקו לגורמים את הביטוי `a^n+b^n` ל n אי זוגי כלשהו.
ג: הוכיחו שאם `2^n-1` ראשוני אז גם n ראשוני.
ד: הוכיחו שאם `2^n+1` ראשוני אז n בהכרח חזקה של 2 שזה שקול ל `n=2^m`
מקורות:נושאים:אלגברה -> טכניקה אלגברית תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה -
פולינום עם מקדמים שלמים
יהי (p(x פולינום עם מקדמים שלמים המקיים `p(-2006) < p(2006)=2005`. הוכח ש- `p(-2006)<=-2007`.
מקורות:
- תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 6
-
שאלה
מצא את כל הזוגות x ,y של מספרים שלמים, המקיימים את המשוואה `x + y = x^2 + xy + y^2`
מקורות:נושאים:אלגברה -> טכניקה אלגברית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות -
שאלה
פונקציה f, אשר מוגדרת בתחום של כל המספרים החיוביים, מקיימת משוואה `2f(x) + f(1/x) = 3x` לכל x חיובי. מצא את הפונקציה. מקורות: -
שאלה
נתון כי `1 = 1/a -(a)/(5) +(3b)/(5a) = 1/b-b/3+(7c)/(3b) = (1)/(c) - (c)/(7) + (5a)/(7c)` מצאו את `a^2 + b^2 + c^2`.
מקורות: -
הגן של ליידי בלינדה
ליידי בלינדה היא גננת נלהבת. באיור היא מתוארת כשהיא שקועה בפתרון בעיה קטנה ומהנה שאותה אספר. אחד הגנים שלה הוא בצורת מלבן, מוקף בגדר חיה גבוהה של צמח ההולי, והיא הופכת אותו לגינת ורדים לטיפוח כמה מזני הורדים המשובחים ביותר שלה. היא רוצה להקדיש בדיוק מחצית משטח הגן לפרחים, בערוגה גדולה אחת, ואת המחצית השנייה לשביל המקיף אותו מכל צדדיו ברוחב שווה. גן כזה מוצג בתרשים בתחתית התמונה. כיצד עליה לסמן את הגן בתנאים פשוטים אלה? יש לה רק סרט מדידה, באורך הגן, כדי לעשות זאת, ומכיוון שגדר ההולי עבה וצפופה מאוד, עליה לבצע את כל המדידות בפנים. ליידי בלינדה לא ידעה את המידות המדויקות של הגן, ומכיוון שלא היה צורך שתדע, גם אני לא מציין מידות. זו משימה פשוטה למדי, לא משנה מה גודל או פרופורציות הגן. עם זאת, כמה גננות היו יודעות בדיוק כיצד להמשיך? סרט המדידה יכול להיות פשוט למדי - כלומר, אין צורך שיהיה מדד מדורג.
מקורות:נושאים:גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות- שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 195
-
שאלה
חשבו ללא מחשבון בדרך יעילה ביותר:
\( { (2001 \cdot 2021+100) \cdot (1991 \cdot 2031+400) \over 2011^4}\)
מקורות:נושאים:אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר -
שאלה
ענו ללא שימוש בעט ונייר (ובלי מחשבון, כמובן
):איזה מספר גדול יותר: `12345678^2` או `12345677*12345679` ?
מקורות:נושאים:אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר -
שאלה
הוכיחו כי הפרש ריבועים של שני מספרים אי-זוגיים עוקבים מתחלק ב-`8`.
מקורות: