האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט

• שאלה 1 - ממוצע הממוצעים 3

  נתבונן בתרשים הבא:

  

  כל מספר בתרשים, שמחובר ל-4 מספרים אחרים, חייב להיות שווה לממוצע שלהם:
  מהו המספר בעיגול שמסומן בסימן שאלה?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים

• שאלה 2 - שטח הצורה

  בתמונה, השטח של חצי העיגול שווה ל-1. מצאו את השטח של הצורה הגדולה, אם ידוע, שכל הקווים העקומים בתמונה הם רבעי מעגלים.

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים

• שאלה 3 - זווית בשעון

  כעבור כמה דקות אחרי השעה 7:00 הזווית בין מחוג השעות למחוג הדקות תהיה מעלה אחת לראשונה?
  הערה: מחוגי השעון זזים ברציפות ובמהירות קבועה

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות -> בעיות תנועה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות נוספים:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ז-ח שאלה 3

• שאלה 4 - מספרים בריבוע

  איילה לקחה את כל המספרים שמתחלקים ב-3 מ-1 עד 99 כולל והעלתה את כל אחד מהם בריבוע, סכמה את התוצאות, ואת המספר שהתקבל הכפילה פי 2.
  ברווז לקח את כל המספרים שלא מתחלקים ב-3 מ-1 עד 100 כולל,העלה את כל אחד מהם בריבוע וסכם את התוצאות.
  מה ההפרש בין המספר שברווז קיבל למספר שאיילה קיבלה?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> סדרות

• שאלה 5 - כמה פתרונות למשוואה?

  נתונה המשוואה:
  `x^2+2xy+y^2-200x-200y+1900=0`
  כמה פתרונות (x,y) יש למשוואה, כאשר x ו-y
  הם מספרים שלמים מ-1 עד 100 (כולל)?

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• שאלה 6 - ספרת היחידות

  למרים יש שמונה כרטיסים עם מספרים תלת ספרתיים עוקבים. ספרת היחידות של המספר הקטן ביותר היא 1,
  ספרת היחידות של המספר הגדול ביותר היא 8. מרים סדרה את הכרטיסים בשורה כך שהמספר הראשון מתחלק ב-2,
  המספר השני מתחלק ב-3, המספר השלישי מתחלק ב-4, וכן הלאה עד המספר השמיני שמתחלק ב-9.
  מהי ספרת היחידות של המספר שמתחלק ב-7?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים