אלגברה, סדרות

סדרה היא רשימה סדורה של מספרים (או פריטים אחרים) שלעיתים קרובות עוקבת אחר כלל או תבנית ספציפיים. נושא זה מכסה זיהוי תבניות, מציאת איברים ספציפיים, קביעת נוסחאות כלליות (האיבר ה-`n`-י), והבנת סוגים שונים של סדרות (חשבוניות, הנדסיות, רקורסיביות).

סדרה חשבונית השלימו\המשיכו סדרה נוסחאות נסיגה

  • תשע תיבות האוצר

    החידה הבאה תמחיש את החשיבות של היכולת לקבוע את הגבולות המינימליים והמקסימליים של מספר נדרש. לעתים קרובות ניתן לעשות זאת. לדוגמה, טרם התברר בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את מסע הפרש על לוח השחמט; אבל אנו יודעים שזה פחות ממספר הצירופים של `168` דברים שנלקחו `63` בכל פעם ויותר מ-`31,054,144`—כי האחרון הוא מספר המסלולים מסוג מסוים. או, כדי לקחת מקרה מוכר יותר, אם תשאל אדם כמה מטבעות יש לו בכיס, הוא עשוי לומר לך שאין לו מושג קלוש. אבל בחקירה נוספת תוציא ממנו הצהרה כגון: "כן, אני בטוח שיש לי יותר משלושה מטבעות, ובאותה מידה בטוח שאין כל כך הרבה כמו עשרים וחמישה." כעת, הידיעה שמספר מסוים נמצא בין `2` ל-`12` בחידה שלי תאפשר לפותר למצוא את התשובה המדויקת; ללא מידע זה יהיה מספר אינסופי של תשובות, מהן לא ניתן יהיה לבחור את הנכונה.

    זוהי חידה נוספת שהתקבלה מחברי דון מנואל רודריגז, הקמצן התמהוני של ניו קסטיליה. בערב ראש השנה האזרחית בשנת `1879` הוא הראה לי תשע תיבות אוצר, ולאחר שהודיע לי שכל תיבה הכילה מספר ריבועי של דובלונים מוזהבים, ושההפרש בין תכולת A ו-B היה זהה לזה שבין B ו-C, D ו-E, E ו-F, G ו-H, או H ו-I, הוא ביקש ממני לומר לו את מספר המטבעות בכל אחת מהקופסאות. בהתחלה חשבתי שזה בלתי אפשרי, שכן יהיה מספר אינסופי של תשובות שונות, אבל לאחר מחשבה גיליתי שזה לא המקרה. גיליתי שבעוד שכל תיבה הכילה מטבעות, התכולה של A, B, C גדלה במשקל בסדר אלפביתי; כך גם D, E, F; וכך גם G, H, I; אבל D או E לא צריכים להיות כבדים יותר מ-C, וגם G או H לא צריכים להיות כבדים יותר מ-F. כמו כן, היה ברור לחלוטין שתיבה A לא יכולה להכיל יותר מתריסר מטבעות מבחוץ; ייתכן שלא יהיה חצי מהמספר הזה, אבל הייתי בטוח שלא היו יותר משנים עשר. עם הידע הזה הצלחתי להגיע לתשובה הנכונה.

    בקיצור, עלינו לגלות תשעה מספרים ריבועיים כך ש-A, B, C; ו-D, E, F; ו-G, H, I הן שלוש קבוצות בסדרה חשבונית, כאשר ההפרש הקבוע זהה בכל קבוצה, ו-A קטן מ-`12`. כמה דובלונים היו בכל אחת מתשע התיבות?

    מקורות:

  • חמשת השודדים

    חמשת השודדים הספרדים, אלפונסו, בניטו, קרלוס, דייגו ואסטבן, ספרו את שללם לאחר פשיטה, כאשר התגלה שהם שדדו יחד בדיוק `200` דובלונים. אחד מהחבורה ציין שאם לאלפונסו יהיה פי שנים עשר, לבניטו פי שלושה, לקרלוס אותו סכום, לדייגו חצי מהסכום ולאסטבן שליש מהסכום, עדיין יהיו להם יחד בדיוק `200` דובלונים. כמה דובלונים היו לכל אחד?

    ישנן תשובות נכונות רבות באותה מידה לשאלה זו. הנה אחת מהן:

    A 6 × 12 = 72
    B 12 × 3 = 36
    C 17 × 1 = 17
    D 120 × ½ = 60
    E 45 × 1/3 = 15
      200       200

    החידה היא לגלות בדיוק כמה תשובות שונות יש, בהנחה שלכל אחד היה משהו ושאסור שיהיה כסף חלקי — רק דובלונים בכל מקרה.

    בעיה זו, שניסוחה שונה במקצת, הוצגה על ידי טרטליה (נפטר ב-`1559`), והוא החמיא לעצמו שהוא מצא פתרון אחד; אבל מתמטיקאי צרפתי ידוע (M.A. Labosne), בעבודה מהעת האחרונה, אומר שקוראיו יופתעו כאשר הוא מבטיח להם שיש `6,639` תשובות נכונות שונות לשאלה. האם זה כך? כמה תשובות יש?

    מקורות:

  • שש הצפרדעים

    שש הצפרדעים המשכילות באיור אומנו להפוך את סדרן, כך שהמספרים שלהן יהיו `6, 5, 4, 3, 2, 1`, כאשר הריבוע הריק נמצא במיקומו הנוכחי. הן יכולות לקפוץ למשבצת הבאה (אם היא פנויה) או לדלג מעל צפרדע אחת למשבצת הבאה מעבר לה (אם היא פנויה), בדיוק כפי שאנו נעים במשחק הדמקה, ויכולות לנוע אחורה או קדימה כרצונן. האם תוכלו להראות כיצד הן מבצעות את המשימה שלהן במספר המהלכים המועט ביותר האפשרי? זה די קל, אז כשסיימתם הוסיפו צפרדע שביעית מימין ונסו שוב. לאחר מכן הוסיפו עוד צפרדעים עד שתוכלו לתת את הפתרון הקצר ביותר עבור כל מספר. כי זה תמיד אפשרי, עם המשבצת הריקה הבודדת הזו, לא משנה כמה צפרדעים יש. מקורות:

  • דומינו בסדרה

    ניתן לראות ששיחקתי שישה אבני דומינו, באיור, בהתאם לכללים הרגילים של המשחק, `4` נגד `4, 1` נגד `1`, וכן הלאה, ועדיין סכום הנקודות על אבני הדומינו העוקבות, `4, 5, 6, 7, 8, 9`, נמצא בסדרה חשבונית; כלומר, למספרים שנלקחו לפי הסדר יש הפרש קבוע של `1`. בכמה דרכים שונות נוכל לשחק שישה אבני דומינו, מקופסה רגילה של עשרים ושמונה, כך שהמספרים עליהם יהיו בסדרה חשבונית? אנחנו תמיד חייבים לשחק משמאל לימין, ומספרים בסדרה חשבונית יורדת (כגון `9, 8, 7, 6, 5, 4`) אינם קבילים. מקורות:

  • השלימו את הסדרה

    השלימו את המספר החסר:

    `2, 3, 5, 9, ?, 33`

  • פולינום פיבונאצ'י

    סדרת פיבונאצ'י מוגדרת לפי `F_1 = F_2 = 1` ונוסחת הנסיגה `F_n = F_{n-1} + F_{n-2}` לכל `n >= 3` שלם. נתונים `m,n >= 1` טבעיים. מצאו את המעלה המינימלית `d` כך שקיים פולינום `f(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + ... + a_1 x + a_0` המקיים `f(k) = F_{m+k}` לכל `k = 0,1,...,n` נמקו את תשובתכם

    מקורות:

  • טבעות הברזל המייגעות

     

    האיור מייצג אחד מהחידות המכאניות העתיקות ביותר. מקורו אינו ידוע. קרדנו, המתמטיקאי, כתב עליו בשנת `1550`, וואליס בשנת `1693`; בעוד שאומרים שהוא עדיין נמצא בכפרים אנגליים נידחים (לפעמים מונח במקומות מוזרים, כמו מגדל פעמונים של כנסייה), עשוי מברזל, ונקרא באופן הולם "טבעות מייגעות", ומשמש את הנורווגים כיום כמנעול לקופסאות ותיקים. בחנויות הצעצועים הוא נקרא לפעמים "טבעות סיניות", אם כי נראה שאין סמכות לתיאור, ולרוב הוא מכונה בשם הלא מספק "הטבעות המבלבלות". הצרפתים קוראים לזה "Baguenaudier."

    ניתן לראות שהחידה מורכבת מ-לולאה פשוטה של חוט המקובעת בידית שאותה מחזיקים ביד שמאל, וממספר מסוים של טבעות המאובטחות על ידי חוטים העוברים דרך חורים ב-מוט ונשמרים שם על ידי קצותיהם הקהים. החוטים פועלים בחופשיות במוט, אך אינם יכולים להיפרד ממנו, וגם לא ניתן להסיר את החוטים מהטבעות. החידה הכללית היא לנתק את הלולאה לחלוטין מכל הטבעות, ואז להחזיר את כולן שוב.

    כעת, ניתן לראות במבט חטוף שניתן להסיר את הטבעת הראשונה (מימין) בכל עת על ידי החלקתה מעל הקצה והשלכתה דרך הלולאה; או שאפשר להחזיר אותה על ידי היפוך הפעולה. מלבד זאת, הטבעת היחידה שניתן להסיר אי פעם היא זו שבמקרה נמצאת השנייה הסמוכה על הלולאה בקצה הימני. כך, כשכל הטבעות עליה, ניתן להפיל את השנייה מיד; כשהטבעת הראשונה למטה, אינך יכול להפיל את השנייה, אך תוכל להסיר את השלישית; כששלוש הטבעות הראשונות למטה, אינך יכול להפיל את הרביעית, אך תוכל להסיר את החמישית; וכן הלאה. יתברר שאפשר להפיל את הטבעות הראשונה והשנייה יחד או להחזיר אותן יחד; אך כדי למנוע בלבול, לא נאפשר את המהלך הכפול החריג הזה, ונגיד שניתן להחזיר או להסיר רק טבעת אחת בכל פעם.

    אנו יכולים להסיר טבעת אחת ב-`1` מהלך; שתי טבעות ב-`2` מהלכים; שלוש טבעות ב-`5` מהלכים; ארבע טבעות ב-`10` מהלכים; חמש טבעות ב-`21` מהלכים; ואם נמשיך להכפיל (ולהוסיף אחד כאשר מספר הטבעות הוא אי-זוגי) נוכל לברר בקלות את מספר המהלכים להסרת כל מספר טבעות לחלוטין. כדי להוריד את כל שבע הטבעות נדרשים `85` מהלכים. בואו נסתכל על חמשת המהלכים שנעשו בהסרת שלוש הטבעות הראשונות, העיגולים מעל הקו מייצגים טבעות על הלולאה ואלה שמתחת מייצגים טבעות מחוץ ללולאה.

    הפילו את הטבעת הראשונה; הפילו את השלישית; הרימו את הראשונה; הפילו את השנייה; והפילו את הראשונה—`5` מהלכים, כפי שמוצג בבירור בתרשימים. העיגולים הכהים מראים בכל שלב, ממצב ההתחלה ועד הסיום, אילו טבעות אפשר להפיל. לאחר מהלך `2` יורגש שלא ניתן להפיל אף טבעת עד שאחת תוחזר, מכיוון שהטבעות הראשונה והשנייה מימין שנמצאות כעת על הלולאה אינן יחד. לאחר המהלך החמישי, אם ברצוננו להסיר את כל שבע הטבעות, עלינו כעת להפיל את החמישית. אבל לפני שנוכל להסיר אז את הרביעית, יש צורך להחזיר את שלוש הראשונות ולהסיר את שתי הראשונות. אז יהיו לנו `7, 6, 4, 3` על הלולאה, ולכן נוכל להפיל את הרביעית. כשנחזיר `2` ו-`1` ונסיר `3, 2, 1`, נוכל להפיל את הטבעת השביעית. הפעולה הבאה אז תהיה להשיג `6, 5, 4, 3, 2, 1` על הלולאה ולהסיר `4, 3, 2, 1`, ואז `6` תרד; ואז להשיג `5, 4, 3, 2, 1` על הלולאה, ולהסיר `3, 2, 1`, ואז `5` תרד; ואז להשיג `4, 3, 2, 1` על הלולאה ולהסיר `2, 1`, ואז `4` תרד; ואז להשיג `3, 2, 1` על הלולאה ולהסיר `1`, ואז `3` תרד; ואז להשיג `2, 1` על הלולאה, ואז `2` תרד; ו-`1` תיפול דרך במהלך ה-85, ותשאיר את הלולאה חופשית לחלוטין. על הקורא להיות מסוגל כעת להבין את החידה, בין אם יש לו אותה ביד בצורה מעשית ובין אם לא.

     

    הבעיה המסוימת שאני מציע היא פשוט זו. נניח שיש בסך הכל ארבע עשרה טבעות על טבעות הברזל המייגעות, ואנו ממשיכים להסיר את כולן בצורה הנכונה כדי לא לבזבז אף מהלך. מה יהיה מצב הטבעות לאחר שבוצע המהלך ה-`9`,999?

    מקורות: