אלגברה, סדרות

סדרה היא רשימה סדורה של מספרים (או פריטים אחרים) שלעיתים קרובות עוקבת אחר כלל או תבנית ספציפיים. נושא זה מכסה זיהוי תבניות, מציאת איברים ספציפיים, קביעת נוסחאות כלליות (האיבר ה-`n`-י), והבנת סוגים שונים של סדרות (חשבוניות, הנדסיות, רקורסיביות).

• שאלה

  נתון מספר ממשי `a` כך ש-`a+1/a` מספר שלם. הוכיחו כי גם `a^n+1/a^n` שלם לכל `n` טבעי.

  נושאים:

  תורת המספרים קומבינטוריקה -> אינדוקציה אלגברה -> טכניקה אלגברית הוכחה ודוגמה אלגברה -> סדרות

• 6 על הלוח

  על הלוח כתוב המספר 6. בכל שלב מותר להוסיף את הספרה 6 לסוף המספר (כך שהיא תהיה ספרת האחדות,) או להחליף את המספר בסכום הספרות שלו.
  אילו מספרים ניתן לקבל בדרך זו? יש לתאר את כל קבוצת המספרים ולהסביר למה אין יותר

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 קומבינטוריקה -> אינדוקציה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, גמר, כיתות ג-ד שאלה 6
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, גמר, כיתות ה-ו שאלה 5

• מספרים עוקבים

  א. אבי רוצה למצוא 10 מספרים עוקבים שסכומם יתחלק ב-90.האם הוא יצליח?
  ב. בני רוצה למצוא 11 מספרים עוקבים כך שסכומם יתחלק ב-90.האם הוא יצליח?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, גמר, כיתות ה-ו שאלה 4

• מספרים על הלוח

  על הלוח כתובים המספרים:`1/3,1/2,1,2,3` . בכל מהלך מותר לבחור שני מספרים כלשהם הכתובים על הלוח ולהחליף את כל אחד מהם במכפלתם.
  האם תוכלו להגיע באופן זה לחמישיית מספרים שסכומם `4 1/4`

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> שברים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, גמר, כיתות ה-ו שאלה 6

• סכומי עצרות

  עבור כל מספר שלם חיובי n נסמן `n! = 1*2*3*...*n`

  מצאו את כל המספרים השלמים n כך שהסכום `1! + 2! + 3! + ... + n!` הוא ריבוע של מספר שלם.

  (פורמט פתרון: a,b,c,... כלומר שלושת המספרים הקטנים ביותר מופרדים בפסיקים ללא רווחים, ושלוש נקודות אחרי אם יש יותר פתרונות)

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2022, בוגרים שאלה 1

• מספרים עוקבים ומחיקה

  יוסי רשם על הלוח 10 מספרים טבעיים עוקבים. דני מחק אחד מהמספרים. סכום המספרים שנשארו על הלוח שווה ל- 2020.
  איזה מספר נמחק?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ז-ח שאלה 5

• מספרים בריבוע

  איילה לקחה את כל המספרים שמתחלקים ב-3 מ-1 עד 99 כולל והעלתה את כל אחד מהם בריבוע, סכמה את התוצאות, ואת המספר שהתקבל הכפילה פי 2.
  ברווז לקח את כל המספרים שלא מתחלקים ב-3 מ-1 עד 100 כולל,העלה את כל אחד מהם בריבוע וסכם את התוצאות.
  מה ההפרש בין המספר שברווז קיבל למספר שאיילה קיבלה?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 4

• מספרים על לוח

  בתחילת היום, על הלוח רשומים ארבעה מספרים שלמים (`a_0,b_0,c_0,d_0`). בכל דקה, דני
  מחליף את ארבעת המספרים שעל הלוח ברביעיית מספרים חדשה לפי הכלל הבא: אם
  המספרים הרשומים על הלוח הם (a,b,c,d), ראשית דני מייצר את המספרים
  `a'=a+4b+16c+64d`
  `b'=b+4c+16d+64a`
  `c'=c+4d+16a+64b`
  `d'=d+4a+16b+64c`
  ולאחר מכן הוא מוחק את המספרים (a,b,c,d) ורושם במקומם את המספרים
  ('a'd',d'c',c'b',b'a). לאילו רביעיות התחלתיות (`a_0,b_0,c_0,d_0`) ירשום דני
  בסופו של דבר רביעיית מספרים שכולם
  מתחלקים ב`5780^5780`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 4

• מעגל המספרים

  במעגל רשומים המספרים 1 עד 6 לפי הסדר, כמתואר בציור.
  בכל מהלך, ליאור בוחר מספר כלשהו a במעגל ששכניו b,c ורושם
  במקומו את המספר `(bc)/a`.
  האם ליאור יכול להגיע למצב שבו מכפלת המספרים במעגל גדולה מ- `10^100`
  (א) ב- 100 מהלכים.
  (ב) ב- 110 מהלכים

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 6

• העימות

  אהוד ובנימין משתתפים בעימות פומבי. כל אחד מציג, בתורו, שאלה ליריבו. אהוד נבחר להיות הראשון שמציג שאלה. "שאלה מכשילה" היא שאלה שעליה אין ליריב תשובה. מתמודד שמצליח לשאול שאלה מכשילה מנצח מיד בעימות. ההסתברות של כל אחד משני המתמודדים למצוא (בתורו) שאלה מכשילה היא בדיוק 1/2. כמו כן, ידוע שאין כל תלות בין השאלות. מה ההסתברות של אהוד לנצח בעימות?

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות תורת ההסתברות