אלגברה, סדרות

סדרה היא רשימה סדורה של מספרים (או פריטים אחרים) שלעיתים קרובות עוקבת אחר כלל או תבנית ספציפיים. נושא זה מכסה זיהוי תבניות, מציאת איברים ספציפיים, קביעת נוסחאות כלליות (האיבר ה-`n`-י), והבנת סוגים שונים של סדרות (חשבוניות, הנדסיות, רקורסיביות).

• העימות

  אהוד ובנימין משתתפים בעימות פומבי. כל אחד מציג, בתורו, שאלה ליריבו. אהוד נבחר להיות הראשון שמציג שאלה. "שאלה מכשילה" היא שאלה שעליה אין ליריב תשובה. מתמודד שמצליח לשאול שאלה מכשילה מנצח מיד בעימות. ההסתברות של כל אחד משני המתמודדים למצוא (בתורו) שאלה מכשילה היא בדיוק 1/2. כמו כן, ידוע שאין כל תלות בין השאלות. מה ההסתברות של אהוד לנצח בעימות?

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות תורת ההסתברות

• העימות

  אהוד ובנימין משתתפים בעימות פומבי. כל אחד מציג, בתורו, שאלה ליריבו. אהוד נבחר להיות הראשון שמציג שאלה. "שאלה מכשילה" היא שאלה שעליה אין ליריב תשובה. מתמודד שמצליח לשאול שאלה מכשילה מנצח מיד בעימות. ההסתברות של כל אחד משני המתמודדים למצוא (בתורו) שאלה מכשילה היא בדיוק 1/2. כמו כן, ידוע שאין כל תלות בין השאלות. מה ההסתברות של אהוד לנצח בעימות?

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות תורת ההסתברות
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 1

• הספְרָה ה-1224

  כותבים את המספרים הטבעיים על פי סדר, זה אחר זה משמאל לימין:

  1234567891011...

  נשים לב למשל, שהספרה במקום ה-10 היא 1 ושהספרה במקום ה-11 היא 0.

  ממשיכים עם הכתיבה הזו, כמה שצריך...

  איזו ספרה תהיה במקום ה-1224 ברצף?

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 1

• שאלה

  על הלוח כתובים כל המספרים מ-1 עד `10^9` (כולל `10^9`). המספרים שמתחלקים ב-3 כתובים באדום, ושאר המספרים בכחול. סכום של כל המספרים האדומים שווה ל- `X`, וסכום של כל המספרים הכחולים שווה ל- `Y`. איזה מספר גדול יותר, `2X` או `Y`, ובכמה?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 2

• שאלה

  מה יותר גדול ופי כמה:
  `(1 + 2/3) (2 + 3/4) ... (998 + 999/1000)` או `(3 + 2/1) (4 + 3/2) ... (1000 + 999/998)`

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> סדרות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ז שאלה 6
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ח שאלה 4

• שאלה

  חשב את ערך הביטוי `(1/(1*100) + 1/(2*99) + 1/(3*98) + ... + 1/(49*52) + 1/(50*51))/(1/1+1/2+1/3+1/4+...+1/99+1/100)`

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"ב, שלב א שאלה 6

• שאלה

  עשרה מספרים שלמים רשומים במעגל. נתון כי הסכום בכל שלשה רצופה שווה ל-7 או ל-8 (לא בהכרח
  כל הסכומים זהים). מהו ההפרש הגדול ביותר האפשרי בין המספר הכי גדול לבין המספר הכי קטן במעגל?
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 8

• צירוף מקרים משונה

  שבעה אנשים, ששמותיהם היו אדמס, בייקר, קרטר, דובסון, אדוארדס, פרנסיס וג'אדג'ן, עסקו לאחרונה במשחק. לשם המשחק המסוים אין חשיבות. הם הסכימו שבכל פעם ששחקן ינצח במשחק, הוא יכפיל את הכסף של כל אחד מהשחקנים האחרים - כלומר, הוא היה אמור לתת לשחקנים בדיוק את אותו סכום כסף שכבר היה להם בכיסים. הם שיחקו שבעה משחקים, ולמרבה הפלא, כל אחד ניצח בתורו, בסדר שבו השמות שלהם ניתנים. אבל צירוף מקרים מוזר יותר הוא זה - כשסיימו לשחק לכל אחד משבעת האנשים היה בדיוק אותו הסכום - שני שילינג ושמונה פני - בכיסו. החידה היא לגלות כמה כסף היה לכל אחד מהאנשים לפני שהתיישב לשחק.

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> סדרות אלגברה -> בעיות מילוליות -> פתרון בעיות מילוליות "מהסוף"
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 5

• מספרים מוזרים

  למספר `48` יש תכונה מוזרה זו: אם מוסיפים לו `1`, התוצאה היא מספר ריבועי (`49`, הריבוע של `7`), ואם מוסיפים `1` למחצית שלו, מקבלים גם מספר ריבועי (`25`, הריבוע של `5`). כעת, אין גבול למספרים בעלי תכונה מוזרה זו, וזהו פאזל מעניין למצוא עוד שלושה מהם - המספרים הקטנים ביותר האפשריים. מה הם?
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 114

• הבעיה של סתת האבנים

  לסתת אבנים היה פעם מספר גדול של קוביות אבן בחצר שלו, כולן באותו גודל בדיוק. היו לו כמה הרגלים קטנים דמיוניים מאוד, ואחד הרעיונות המוזרים שלו היה לשמור את הבלוקים האלה מוערמים בערימות מעוקבות, כך שאין שתי ערימות שמכילות את אותו מספר בלוקים. הוא גילה בעצמו (עובדה שידועה היטב למתמטיקאים) שאם הוא היה לוקח את כל הבלוקים הכלולים במספר כלשהו של ערימות בסדר רגיל, החל מהקוביה הבודדת, הוא תמיד יכול היה לסדר אותם על הקרקע כדי ליצור ריבוע מושלם. זה יהיה ברור לקורא, מכיוון שבלוק אחד הוא ריבוע, `1+8 = 9` הוא ריבוע, `1+8+27=36` הוא ריבוע, `1+8+27+64=100` הוא ריבוע, וכן הלאה. למעשה, סכום כל מספר של קוביות עוקבות, החל תמיד מ-`1`, הוא בכל מקרה מספר ריבועי.

  יום אחד נכנס ג'נטלמן לחצר של הבנאי והציע לו מחיר מסוים אם יספק לו מספר עוקב של ערימות מעוקבות אלה, שאמורות להכיל יחד מספר בלוקים שניתן לפרוס ליצירת ריבוע, אך הקונה התעקש על יותר משלוש ערימות וסירב לקחת את הבלוק הבודד מכיוון שהיה בו פגם. מה היה המספר הקטן ביותר האפשרי של בלוקי אבן שהבנאי היה צריך לספק?

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 135