קומבינטוריקה, בדיקת מקרים, תהליכים

קטגוריה זו מכסה בעיות הכוללות רצפים של פעולות או צעדים המתפתחים לאורך זמן או איטרציות. שאלות עשויות לשאול על תוצאת תהליך, האם הוא מסתיים, או תכונות של מצבו לאחר מספר מסוים של צעדים. קשור לעיתים קרובות לאלגוריתמים או אינווריאנטים.

• שאלה

  בקופסה נמצאים עפרונות בשלושה צבעים: אדום, ירוק, וכחול, סך הכל `20` עפרונות. עפרונות כחולים יש פי `6` יותר מאשר עפרונות ירוקים. עפרונות אדומים יש פחות מעפרונות ירוקים. כמה עפרונות אדומים יש בקופסה?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה

  חרגול יודע לקפוץ `80` סנטימטרים קדימה או `50` סנטימטרים אחורה. האם יכול החרגול להתרחק מהנקודה ההתחלתית תוך פחות מ-`7` קפיצות  למרחק של מטר אחד ו-`70` ס"מ בדיוק?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> משפט השאריות הסיני אלגברה -> בעיות מילוליות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• עופות וגרעינים

  תשעה עופות זהים אוכלים לארוחת צהריים פחות מ-`1001` גרעינים, ועשרה עופות כאלה אוכלים לארוחת צהריים יותר מ-`1100` גרעינים. כמה גרעינים אוכל עוף אחד לארוחת צהריים?

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה

• שאלה

  מצאו את כל המספרים הטבעיים בעלי התכונה הבאה: אם נחלק אותם ב-7 עם שארית, השארית תהיה שווה למנה.

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> אי שוויונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  מצאו את כל המספרים הדו ספרתיים `A` כך שריבוע של סכום ספרותיו של `A` שווה לסכום הספרות של `A^2`.

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> אי שוויונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה

  האם מכפלתם של שני מספרים טבעיים עוקבים יכולה להיות שווה למכפלה של שני מספרים זוגיים עוקבים?

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> אי שוויונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  `10` ספרים זהים עולים יותר מ-`11` דולר, ו-`9` ספרים מאותו הסוג עולים פחות מ-`10` דולר. כמה עולה ספר אחד?

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• נמלים על המקל

  על מקל שאורכו מטר אחד יש `10` נמלים, `5` מכל צד, במרחקים של סנטימטר אחד (ראו ציור). הנמלים שבצד השמאלי של המקל הולכות ימינה, והנמלים שבצד הימני של המקל הולכות שמאלה. מהירות של כל נמלה קבועה ושווה לסנטימטר אחד בשנייה. כאשר שתי נמלים נפגשות, שתיהן הופכות כיוון ומתחילות להתרחק זו מזו. כאשר נמלה כלשהי מגיעה לקצה המקל, היא נופלת (נמלים הן יצורים מפגרים במיוחד).

  

  א. האם יקרה המצב שכל הנמלים יפלו מהמקל, ואם כן, אז תוך כמה זמן?

  ב. כמה התנגשויות יתקיימו בין הנמלים?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• מי שבר את הזכוכית?

  אחד מארבעה התלמידים הבאים: אבי, בני, גילי ודני – שבר זכוכית. מנהלת שואלת אותם, מי עשה את זה. להלן התשובות שהיא קיבלה:

  אבי: אני יודע בוודאות שמי ששבר את הזכוכית, זה לא אני ולא בני.

  בני: אני יודע בוודאות שמי ששבר את הזכוכית, זה לא אני ולא דני.

  גילי: אני יודעת בוודאות שמי ששבר את הזכוכית, זה לא אני ולא בני.

  דני: אני יודע בוודאות שמי ששבר את הזכוכית, זה לא אני ולא אבי.

  ידוע שרק אחד מהם שבר את הזכוכית, ובנוסף ידוע ששלושה מהתלמידים אמרו אמת, ואחד שיקר. אז מי שבר את הזכוכית?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים

• שאלה

  על הלוח רשום מספר דו ספרתי. אבי טוען שספרת האחדות של המספר גדולה פי שניים מספרת העשרות. בני טוען כי המספר מתחלק ב-`9`. גל טוען כי המספר מתחלק ב-`4`. דני טוען כי המספר מתחלק ב-`27`. ידוע כי אחד מהם טועה, והשאר צודקים. איזה מספר כתוב על הלוח?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-2, 4 ו-8 תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים