קומבינטוריקה, בדיקת מקרים, תהליכים

קטגוריה זו מכסה בעיות הכוללות רצפים של פעולות או צעדים המתפתחים לאורך זמן או איטרציות. שאלות עשויות לשאול על תוצאת תהליך, האם הוא מסתיים, או תכונות של מצבו לאחר מספר מסוים של צעדים. קשור לעיתים קרובות לאלגוריתמים או אינווריאנטים.

• לוח ציור

  לצייר יש לוח משבצות `10 times 10`. בכל פעם הצייר בוחר שורה או עמודה וצובע את כולה בצבע לבחירתו.
  אם הוא עובר עם צבע חדש על משבצת שכבר נצבעה, הצבע החדש מכסה את הצבע הישן במלואו,
  כלומר, צבע המשבצת מתחלף.
  מהו המספר הגדול ביותר של צבעים שנוכל לראות על הלוח הזה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 5

• כמה משולשים - 2?

  כמה משולשים יש בתמונה?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 6

• 5 ישרים, 8 חיתוכים

  ציירו 5 ישרים, כך שתהיינה ביניהם בדיוק 8 נקודות חיתוך.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ג-ד שאלה 1

• מי אוהב קולה?

  לשמואל 4 ילדים: אוהד, בני, גיא ודור. לכל אחד מהם יש שתייה אחת שהוא אוהב (אין 2 אנשים עם שתייה משותפת): מים, קולה, ענבים ותפוזים.
  בנוסף,לכל אחד יש גם מקצוע מועדף (ואין 2 עם אותו אחד): מתמטיקה, פיזיקה, מדעי המחשב וכימיה.

  רמזים:

  1. 1. אוהד אוהב מדעי המחשב
  2. 2. מי שאוהב מתמטיקה לא שותה תפוזים
  3. 3. דור לא אוהב פיזיקה
  4. 4. בני שותה מים
  5. 5. גיא לא שותה ענבים
  6. 6. הילד שאוהב כימיה שותה ענבים
  7. 7. בני לא אוהב מתמטיקה

  השאלה: מי אוהב קולה?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ג-ד שאלה 2

• הרכבת סכום

  הרכיבומהספרות `1,2,3,4,5,6,7,8,9` שלושה מספרים, כך שאחד מהם יהיה סכום של השניים האחרים.
  יש להשתמש בכל ספרה בדיוק פעם אחת

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ג-ד שאלה 4
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ה-ו שאלה 1

• כמה אפשר לחבר?

  מהו המספר של התוצאות האפשריות של תרגילי חיבור מהסוג `א + ב`
  כאשר א ו-ב שני מספרים חיוביים חד ספרתיים שונים?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ג-ד שאלה 5

• לטיול יצאנו

  כיתה ד', המונה 32 תלמידים, יצאה לטיול. על התלמידים היה להביא כובעים, משקפי שמש ובקבוקי שתייה.
  אין ילד ששכח את כל הדברים האלה, אבל:

  • מבין התלמידים שהביאו כובעים,9 שכחו משקפי שמש,
  • מבין התלמידים שהביאו משקפי שמש,7 שכחו בקבוקי שתייה,
  • ומבין התלמידים שהביאו בקבוקי שתייה,10 שכחו משקפי שמש.

  כמה מהתלמידי מהכיתה הביאו את כל מה שדרוש לטיול?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון תורת הקבוצות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ה-ו שאלה 2

• רחוב צבעוני

  לאורך הרחוב ממוקמים 16 בתים, בצבעים אדום, כחול וירוק.יש לפחות בית אחד מכל צבע. אין שני בתים סמוכים בצבע זהה.
  בין כל שני בתים כחולים יש בית אדום. בין כל שני בתים ירוקים יש בית כחול ובית אדום.
  מהו המספר הגדול ביותר של בתים ירוקים שיכול להיות?
  הערה: הרחוב ישר, כל הבתים ממוקמים בצד אחד של הרחוב.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 6

• רחוב צבעוני 2

  לאורך הרחוב ממוקמים 15 בתים, בצבע אדום, כחול וירוק. יש לפחות בית אחד מכל צבע.
  בין כל שני בתים כחולים יש בית אדום. בין כל שני בתים ירוקים יש בית כחול.
  מהו המספר הגדול ביותר של בתים ירוקים שיכול להיות?
  הערה: הרחוב ישר, כל הבתים ממוקמים בצד אחד של הרחוב.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 5
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ז-ח שאלה 6

• שברים קסומים

  נקרא לשבר קסום, אם המונה והמכנה שלו קטנים מ-10. למשל, השבר `1/9` נחשב קסום, גם השבר `6/8` קסום, השבר `3/14` לא קסום.
  כמה שברים קסומים יש, שגדולים מחצי וקטנים מ-1?

  הערה: לצורך השאלה `2/3` ו `4/6` נחשבים שברים שונים.

  נושאים:

  אריתמטיקה -> שברים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 6