קומבינטוריקה, בדיקת מקרים, תהליכים
קטגוריה זו מכסה בעיות הכוללות רצפים של פעולות או צעדים המתפתחים לאורך זמן או איטרציות. שאלות עשויות לשאול על תוצאת תהליך, האם הוא מסתיים, או תכונות של מצבו לאחר מספר מסוים של צעדים. קשור לעיתים קרובות לאלגוריתמים או אינווריאנטים.
-
הבונה והחפרפרת
ישנה חלקת אדמה שצורתה ריבוע `4 times 4` המחולקת למשבצות של `1 times 1`.הבונה רוצה לבנות עליה בית שתופס 4 משבצות, שממבט על יראה כך:
החפרפרת רוצה להפריע לו. למטרה זו היא יכולה לחפור בורות, שכל אחד מהם תופס משבצת אחת. אי אפשר לבנות על המשבצות שהפכו לבור. מה הוא המספר הקטן ביותר של בורות שצריכה לחפור החפרפרת, כדי שהבונה לא יוכל לבנות את הבית?
מקורות:נושאים:קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות -
סופגניות
איילה, בני, גילי, דני והדס קיבלו מארז סופגניות ובו
- 10 סופגניות עם ריבת חלב
- 8 סופגניות עם חמאת בוטנים
- 9 סופגניות עם שוקולד
- 11 עם ריבת תות
לכל אחד מהם יש את סוג הסופגניות האהוב עליו.
- איילה אכלה 5 סופגניות מהסוג האהוב עליה
- בני אכל 6 סופגניות מהסוג האהוב עליו
- גילי אכלה 7 סופגניות מהסוג האהוב עליה
- דני אכל 8 סופגניות מהסוג האהוב עליו
- הדס אכלה 9 סופגניות מהסוג האהוב עליה
אחרי זה נשארו להם 3 סופגניות מסוגים שונים. מהו סוג הסופגניות האהוב על כל אחד מהם?
מקורות: -
6 על הלוח
על הלוח כתוב המספר 6. בכל שלב מותר להוסיף את הספרה 6 לסוף המספר (כך שהיא תהיה ספרת האחדות,) או להחליף את המספר בסכום הספרות שלו.
אילו מספרים ניתן לקבל בדרך זו? יש לתאר את כל קבוצת המספרים ולהסביר למה אין יותרמקורות:נושאים:אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 קומבינטוריקה -> אינדוקציה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים -
עוד חמור באמצע
אבי,בני וגדי שיחקו ״חמור באמצע״ - בכל רגע מישהו עומד באמצע,ומנסה לתפוס כדור שהשניים האחרים מתמסרים בו.
מקורות:
אם הוא מצליח, אחד מהשניים האחרים מחליף אותו. לאחר המשחק אבי אמר שהוא עמד באמצע 8 פעמים,
בני אמר שהוא עמד באמצע 4 פעמים וגדי שכח כמה פעמים הוא עמד באמצע.
הם גם זוכרים שבני הוא האחרון שעמד באמצע.תארו את כל האפשרויות למספר הפעמים שבהן גדי עמד באמצע, -
מספר עשר ספרתי
יעל כותבת מספרים עשר ספרתיים,שברישום העשרוני שלהם כל אחת מבין הספרות `0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9` מופיעה פעם אחת בדיוק.
מקורות:
במספרים שיעל כותבת,ההפרש בין כל שתי ספרות סמוכות הוא לפחות 2. מהו המספר הקטן ביותר שיעל יכולה לכתוב?
-
השולחן העגול
סביב שולחן עגול 12 כיסאות, על חלק מהכיסאות יושבים אבירים. ארתור רוצה להצטרף לישיבה,
ומסתבר שלא משנה איפה הוא ישב, בוודאות מישהו יושב לידו.
מהו המספר הקטן ביותר של אבירים שיכולים להיות סביב השולחן כדי שזה בוודאות יתקיים? (לא כולל ארתור)מקורות:נושאים:קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים -
שתי סולמיות
מהו המספר המרבי של צורות "דומינו" (מלבנים `1 times 2` או `2 times 1`) שניתן למקם בתוך הצורה הכתומה,
כך שהם לא יעלו אחד על השני ולא יחרגו מחוץ לגבולות הצורה?
מקורות:נושאים:קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות -
כמה משולשים?
כמה משולשים יש בתמונה?
מקורות:נושאים:גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות תורת המספרים -> חלוקה -
המספר
נתון מספר שלם חיובי שקטן מ-2000.
מקורות:
אם הוא לא מתחלק ב-43 אז הוא מתחלק ב-41,
אםהוא לא מתחלק ב-53 אז הוא מתחלק ב-43,
אם הוא לא מתחלק ב-41 אז הוא מתחלק ב-53.
מצאו את המספר. -
שלב לבש בלש
בביטוי הבא אותיות שונות מסמנות ספרות שונות, ואותיות זהות מסמנות ספרות זהות:
שלב = לבש + בלש
מצאו את המספר שלב.
מקורות:נושאים:אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימן חלוקה ב-11 אלגברה -> משוואות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל