קומבינטוריקה, בדיקת מקרים, תהליכים

קטגוריה זו מכסה בעיות הכוללות רצפים של פעולות או צעדים המתפתחים לאורך זמן או איטרציות. שאלות עשויות לשאול על תוצאת תהליך, האם הוא מסתיים, או תכונות של מצבו לאחר מספר מסוים של צעדים. קשור לעיתים קרובות לאלגוריתמים או אינווריאנטים.

• ספרת היחידות

  למרים יש שמונה כרטיסים עם מספרים תלת ספרתיים עוקבים. ספרת היחידות של המספר הקטן ביותר היא 1,
  ספרת היחידות של המספר הגדול ביותר היא 8. מרים סדרה את הכרטיסים בשורה כך שהמספר הראשון מתחלק ב-2,
  המספר השני מתחלק ב-3, המספר השלישי מתחלק ב-4, וכן הלאה עד המספר השמיני שמתחלק ב-9.
  מהי ספרת היחידות של המספר שמתחלק ב-7?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 6

• שקילת מטבעות

  נתונים שבעה מטבעות זהים למראה, ארבעה מתוכם אמיתיים ושלושה מזויפים. שלושת המטבעות המזויפים זהים במשקלם וכן ארבעת המטבעות האמיתיים.
  ידוע כי מטבע מזויף קל יותר ממטבע אמיתי. בשקילה אחת ניתן לבחור בשתי קבוצות של מטבעות ולבדוק מי מהן קלה יותר, או אם משקלן זהה.
  כמה שקילות נחוצות על מנת לאתר מטבע מזויף אחד לפחות.

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת האלגוריתמים -> שקילות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 1

• חוגי הילדים

  בגן ילדים מתקיימים שלושה חוגים: ג'ודו, חקלאות ומתמטיקה. כל ילד משתתף בחוג אחד בדיוק ובכל חוג יש לפחות משתתף אחד. מספר הילדים בגן הוא 32. ביום שישי הגננת אספה 6 ילדים שיסדרו את הכיתה. הגננת ספרה וגילתה כי בדיוק חצי מתלמידי החוג לג'ודו, רבע מתלמידי החוג לחקלאות ושמינית מתלמידי החוג למתמטיקה נרתמו למשימה. כמה תלמידים יש בכל חוג?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון אריתמטיקה -> שברים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ט שאלה 1

• ציור של קשר

  נתון לוח משבצות בגודל 5x5 שמחולק למשבצות 1x1. שתי משבצות נקראות קשורות אם הן נמצאות באותה שורה או באותה עמודה, והמרחק בין מרכזי המשבצות הוא 2 או 3.
  לדוגמה, בציור מסומנות בצבע אפור כל המשבצות הקשורות למשבצת האדומה. סמי מקבל לוח לבן, ורוצה לסמן עליו כמה שיותר משבצות שאף שתיים מהן אינן קשורות זו לזו. מהי הכמות המרבית של משבצות שהוא יכול לסמן?
  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ט שאלה 2

• שיוויון בשלבים

  על הלוח כתובים המספרים 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ודוד אמור לשנות אותם בשלבים. בכל שלב מותר לדוד לבחור שני מספריים ולשנות אותם ב 1, כלומר להוסיף לשניהם 1, להחסיר משניהם 1, או להוסיף לאחד 1 ולהחסיר מהשני 1.

  האם דוד יוכל אחרי מספר שלבים להגיע למצב שבו כל המספרים על הלוח שווים? אם כן תראו דוגמא ואם לא נמקו את תשובתכם בפירוט.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2017, צעירים שאלה 3

• המספר הנעלם

  בר ואילן בחרו כל אחד מספר שלם בין 1 ל- 30.

  אילן: האם המספר שלך כפול משלי?

  בר: לא יודעת. האם המספר שלך כפול משלי?

  אילן: לא יודע. האם המספר שלך חצי משלי?

  בר: לא יודעת. האם המספר שלך חצי משלי?

  אילן: לא יודע.

  בר: אני יודעת מה המספר שלך.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 6

• שניים רבים השלישי לוקח

  השכבה כולה במחלוקת!

  42 חושבים ש-כן, 43 חושבים ש-אולי ו-36 חושבים ש-לא.

  כאשר שניים שחושבים אחרת זה מזה נפגשים - שניהם משנים את עמדתם לזו השלישית.

  כמה מפגשים לכל הפחות צריכים להתקיים עד שכולם יסכימו על אותה העמדה?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 9

• שאלה

  תלמידי כיתה ח' זרקו כדורי גומי לקופסה ואחר כך ניסו לנחש כמה כדורים הצטברו שם. חמישה תלמידים ניסו לנחש: 45, 41, 55, 50, 43, אך אף אחד לא ניחש בדיוק את הכמות. הניחושים נבדלו מהאמת ב- 3, 7, 5, 7 ו-2 כדורים (לא בהכרח באותו הסדר כמו הניחושים). כמה כדורים היו בקופסה?

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 1

• שאלה

  בתרגיל אותיות זהות מסמנות ספרות זהות, אותיות שונות ספרות שונות, כוכביות מסמנות ספרות כלשהן. מצאו את כל הספרות.
  `(ABCD)^2 = A B ** ** ** C D `

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 4

• שאלה

  מצאו את המספר הטבעי הגדול ביותר, שכל ספרותיו שונות זו מזו, ואם מסתכלים על כל 3 ספרות רצופות מקבלים מספר שמתחלק ב-13.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימן חלוקה ב-11 קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 7