קומבינטוריקה, גאומטריה קומבינטורית, גאומטריה על נייר משבצות

נושא זה כולל בעיות גאומטריות המוגדרות על רשת של נקודות במרווחים שווים (סריג), לעיתים קרובות כאשר הקואורדינטות הן שלמות. שאלות עשויות לכלול מציאת שטחי מצולעים באמצעות נקודות סריג (למשל, משפט פיק), ספירת נקודות סריג, או ניתוח צורות המצוירות על נייר משבצות.

• מגן דוד כתום

  השטח של המשולש הכחול שווה ל-1. חשבו את השטח של מגן הדוד הכתום:

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 3

• שתי סולמיות

  מהו המספר המרבי של צורות "דומינו" (מלבנים `1 times 2` או `2 times 1`) שניתן למקם בתוך הצורה הכתומה,
  כך שהם לא יעלו אחד על השני ולא יחרגו מחוץ לגבולות הצורה?

  

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 2
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 1

• היקף גדול

  מציירים על נייר משבצות מצולע עם שטח 12, שכל צלעותיו עוברות על קווי המשבצות. מהו ההיקף הגדול ביותר שיכול להיות למצולע זה?

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 5

• ציור של קשר

  נתון לוח משבצות בגודל 5x5 שמחולק למשבצות 1x1. שתי משבצות נקראות קשורות אם הן נמצאות באותה שורה או באותה עמודה, והמרחק בין מרכזי המשבצות הוא 2 או 3.
  לדוגמה, בציור מסומנות בצבע אפור כל המשבצות הקשורות למשבצת האדומה. סמי מקבל לוח לבן, ורוצה לסמן עליו כמה שיותר משבצות שאף שתיים מהן אינן קשורות זו לזו. מהי הכמות המרבית של משבצות שהוא יכול לסמן?
  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ט שאלה 2

• בצעדי פרש

  פרש נע על גריד אינסופי. הוא מתחיל בנקודה (0,0) ועליו להגיע אל
  הנקודה (5,27). בהנחה שהוא נע במספר הצעדים הקטן ביותר הנדרש,
  כמה אפשרויות שונות יש לו להגיע לנקודה זו?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 5

• צפוף פה!

  על לוח המשחק ממוקמים 55 גלגלי שיניים בצורת 'פירמידה':

  10 גלגלים בשורה התחתונה, 9 גלגלים בזו שמעליה, וכן הלאה.

  במצב זה, הגלגלים לא יכולים להסתובב בחופשיות (שכנעו את עצמכם מדוע!)

  מסירים גלגלי שיניים כדי לאפשר תנועה חופשית.

  כמה גלגלים לכל היותר יישארו על הלוח כך שכולם יוכלו להסתובב?

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 10

• שאלה

  נתון לוח בגודל של 6 על 6 מרצפות ריבועיות. מרצפים אותו ב-36 מרצפות, שעל כל אחת מהן מצויירים שני רבעי מעגל המחברים את האמצעים של צלעות צמודות, כמו בציור. מהו המספר הגדול ביותר של רבעי מעגל שיכולים להתחבר לקו רציף אחד? צייר דוגמא המכילה קו כזה.
  

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 10

• חידת מטעים

  לאיש היתה חלקת אדמה מרובעת עם ארבעים ותשעה עצים, אך, כפי שניתן לראות מההשמטות באיור, ארבעה עצים נפלו וסולקו. כעת הוא רוצה לכרות את כל היתר מלבד עשרה עצים, שאותם יש להשאיר כך שהם ייצרו חמש שורות ישרות עם ארבעה עצים בכל שורה. אילו הם עשרת העצים שעליו להשאיר?
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 208

• אימון טורפדו

  אם צי של שישה עשר ספינות מלחמה עוגן ומוקף על ידי האויב, כמה ספינות עשויות לטבוע אם כל טורפדו, המשוגר בקו ישר, יעבור מתחת לשלוש ספינות ויטביע את הרביעית? בתרשים סידרנו את הצי במבנה ריבועי, שם ניתן לראות שאפשר להטביע עד שבע ספינות (אלו בשורה העליונה ובעמודה הראשונה) על ידי ירי הטורפדות המסומנים על ידי החצים. בעגינת הצי כרצוננו, עד כמה נוכל להגדיל את המספר הזה? זכרו שכל ספינה עוקבת טובעת לפני שיגור טורפדו נוסף, וכל טורפדו נע בכיוון אחר; אחרת, על ידי הצבת הספינות בקו ישר, אנו עשויים להטביע עד שלושה עשר! זהו מחקר קטן ומעניין בלוחמה ימית, ומעשי במיוחד - בתנאי שהאויב יאפשר לך לסדר את הצי שלו לנוחיותך ויבטיח לשכב בשקט ולא לעשות דבר!
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 235

• מטרת הצלב

  באיור יש לנו מטרה מעט מוזרה שעוצבה על ידי צלף אקסצנטרי. הרעיון שלו היה שכדי לצבור ניקוד, עליך לפגוע בארבעה עיגולים בארבע יריות כך שאותן ארבע יריות ייצרו ריבוע. ניתן לראות מהתוצאות שנרשמו על המטרה ששני ניסיונות הצליחו. האדם הראשון פגע בארבעת העיגולים בראש הצלב, ובכך יצר את הריבוע שלו. האדם השני התכוון לפגוע בארבעת העיגולים בזרוע התחתונה, אך היריה השנייה שלו, בצד שמאל, הייתה גבוהה מדי. זה אילץ אותו להשלים את הארבעה שלו בצורה שונה ממה שהוא התכוון. כך ניתן לראות שלמרות שזה לא משנה באיזה עיגול אתה פוגע ביריה הראשונה, היריה השנייה עשויה לחייב אותך לנוהל מוגדר אם אתה רוצה להשיג את הריבוע שלך. כעת, החידה היא לומר בכמה דרכים שונות אפשר ליצור ריבוע על המטרה עם ארבע יריות.
  נושאים:

  גאומטריה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 284