קומבינטוריקה, גאומטריה קומבינטורית, גאומטריה על נייר משבצות

נושא זה כולל בעיות גאומטריות המוגדרות על רשת של נקודות במרווחים שווים (סריג), לעיתים קרובות כאשר הקואורדינטות הן שלמות. שאלות עשויות לכלול מציאת שטחי מצולעים באמצעות נקודות סריג (למשל, משפט פיק), ספירת נקודות סריג, או ניתוח צורות המצוירות על נייר משבצות.

  • אריות וכתרים

    הגברת הצעירה באיור מתמודדת עם קושי קטן בגזירה, שבו הקורא ישמח לסייע לה. היא רוצה, מסיבה כלשהי שהיא לא מסרה לי, לחתוך את חתיכת הבד המרובעת והיקרה הזו לארבעה חלקים, כולם בדיוק באותו גודל ובאותה צורה, אבל חשוב שכל חתיכה תכיל אריה וכתר. מכיוון שהיא מתעקשת שהחתכים ייעשו רק לאורך הקווים המחלקים את הריבועים, היא נבוכה למדי לגלות איך לעשות זאת. האם תוכלו להראות לה את הדרך? יש רק שיטה אפשרית אחת לחתוך את הבד. מקורות:

  • לוחות עם מספר אי-זוגי של משבצות

    אנו נדון כאן בשאלה של אותם לוחות המכילים מספר אי-זוגי של משבצות. נניח שהמשבצת המרכזית נחתכת תחילה, כך שיישאר מספר זוגי של משבצות לחלוקה. כעת, ברור שלוח ריבוע שלוש על שלוש ניתן לחלוקה רק בדרך אחת, כפי שמוצג באיור `1`. ניתן לראות שהחלקים A ו-B הם באותו גודל וצורה, וכי כל דרך חיתוך אחרת תייצר רק חלקים בעלי צורה זהה, אז זכרו שווריאציות אלה אינן נספרות כדרכים שונות. החידה שאני מציע היא לחתוך את הלוח חמש על חמש (איור `2`) לשני חלקים באותו גודל וצורה בכמה שיותר דרכים שונות. הדגמתי באיור דרך אחת לעשות זאת. כמה דרכים שונות יש בסך הכל? חתיכה שכאשר הופכים אותה דומה לחתיכה אחרת אינה נחשבת כבעלת צורה שונה. מקורות:

  • סהרוני הירח של ביזנטיון

    כאשר פיליפוס ממקדוניה, אביו של אלכסנדר הגדול, מצא עצמו ניצב בפני קשיים גדולים במצור על ביזנטיון, הוא הורה לאנשיו לחתור תחת החומות. אולם, משאלותיו סוכלו, שכן לא חלף זמן רב לאחר תחילת הפעולות, עד שסהר ירח הופיע לפתע בשמים וחשף את תוכניותיו בפני יריביו. הביזנטים שמחו מטבע הדברים, וכדי להביע את הכרת התודה שלהם הקימו פסל לדיאנה, והסהר הפך מאז לסמל המדינה. במקדש שהכיל את הפסל הייתה רצפה מרובעת שהורכבה משישים וארבעה אריחים גדולים ויקרים. כולם היו פשוטים, למעט חמישה, שנשאו את סמל הסהר. חמשת אלה הוצבו מסיבות נסתרות כך שכל אריח יהיה תחת השגחה (כלומר, בקו ישר, אנכית, אופקית או אלכסונית) של לפחות אחד מהסהרונים. הסידור שאומץ על ידי האדריכל הביזנטי היה כדלקמן:—

     

    כעת, כיסוי אחד מחמשת הסהרונים הללו היה עבירה חמורה, שהעונש עליה היה מוות מכאיב וממושך מאוד. אבל לרגל חגיגה מסוימת היה צורך להניח על המרצפת הזו שטיח מרובע בגודל המרבי האפשרי, והראיתי באיור על ידי הצללה כהה את הממדים הגדולים ביותר שיהיו זמינים.

    החידה היא להראות כיצד האדריכל, אילו חזה את שאלת השטיח הזו, יכול היה לסדר את חמשת אריחי הסהר שלו בהתאם לתנאים הנדרשים, ובכל זאת לאפשר הנחת שטיח מרובע גדול ככל האפשר מבלי שאף אחד מחמשת אריחי הסהר יכוסה, או כל חלק מהם.

    מקורות:

  • הצלב הדרומי

     

    באיור לעיל יש לנו חמישה כוכבי לכת ושמונים ואחד כוכבים קבועים, כאשר חמישה מהאחרונים מוסתרים על ידי כוכבי הלכת. ניתן לראות שכל כוכב, למעט עשרת הכוכבים שיש להם נקודה שחורה במרכזם, נמצא בקו ישר, אנכית, אופקית או באלכסון, עם לפחות אחד מכוכבי הלכת. החידה היא לסדר מחדש את כוכבי הלכת כך שכל הכוכבים יהיו בקו אחד עם אחד או יותר מהם.

    בסידור מחדש של כוכבי הלכת, כל אחד מחמשתם עשוי לנוע פעם אחת בקו ישר, בכל אחד משלושת הכיוונים שהוזכרו. הם, כמובן, יסתירו חמישה כוכבים אחרים במקום אלה המכוסים כעת.

    מקורות:

  • חידה עם חיילים

    הנח שני חיילים באמצע לוח השחמט, אחד ב-Q `4` והשני ב-K `5`. כעת, הנח את ארבעה-עשר החיילים הנותרים (שישה-עשר בסך הכל) כך שאף שלושה לא יהיו בקו ישר בכל כיוון אפשרי.

    שים לב שאני בכוונה לא אומר מלכות, מכיוון שעל ידי המילים "בכל כיוון אפשרי" אני חורג מעבר להתקפות על אלכסונים. יש להתייחס לחיילים כנקודות בלבד במרחב - במרכזי הריבועים. ראה קווים מנוקדים במקרה של מס' `300`, "שמונה מלכות."

    מקורות:

  • ציד אריות

     

    חברי, קפטן פות'ם הול, צייד חיות גדולות ידוע, אומר שאין דבר מלהיב יותר ממפגש עם עדר—להקה—צוות—מִשְׁפָּחָה—נחיל (לקח לי רבע שעה שלמה להיזכר במילה הנכונה, אבל סוף סוף מצאתי אותה)—גאווה של אריות. מדוע מספר אריות נקרא "גאווה," מספר לווייתנים נקרא "בית ספר," ומספר שועלים נקרא "רמייה" הן תעלומות של פילולוגיה שאליהן לא אכנס.

    ובכן, הקפטן אומר שאם אריה נמרץ חוצה את דרכך במדבר, זה נהיה תוסס, כי האריה בדרך כלל חיפש את האדם בדיוק כמו שהאדם חיפש את מלך היער. ובכל זאת כשהם נפגשים הם תמיד רבים ונלחמים. קצת התבוננות בסכסוך המצער והמתמשך הזה בין שתי משפחות מכובדות הובילה אותי להבין כמה חישובים לגבי הסבירות שהאדם והאריה יחצו זה את דרכו של זה בג'ונגל. בכל המקרים הללו צריך להתחיל בהנחות מסוימות פחות או יותר שרירותיות. לכן באיור לעיל חשבתי לנכון לייצג את השבילים במדבר בסדר מופתי כזה. למרות שהקפטן מבטיח לי שעקבות האריות בדרך כלל רצים בדרך הזו, יש לי ספקות.

    החידה היא פשוט לגלות בכמה דרכים שונות ניתן להציב את האדם והאריה בשני מקומות שונים שאינם על אותו נתיב. על ידי "נתיבים" יש להבין שאני מתייחס רק לקווים המצוירים. לפיכך, למעט ארבע הנקודות הפינתיות, כל לוחם נמצא תמיד בשני נתיבים ולא יותר. ניתן לראות שיש הרבה מקום להתחמק זה מזה במדבר, וזה בדיוק מה שתמיד הבינו.

    מקורות:

  • מסע הצריח

    אני קורא לחידה הזו "מסע הצריח", מכיוון שהמילה "tour" (הנגזרת מגלגל של חרט) מרמזת שאנו חוזרים לנקודה ממנה יצאנו, ואנו לא עושים זאת במקרה הזה. לא נהיה מרוצים מסיור חג מודרך אישית שהסתיים בכך שהשאיר אותנו, למשל, באמצע הסהרה. הצריח כאן עושה עשרים ואחד מהלכים, שבמהלכם הוא מבקר בכל משבצת בלוח פעם אחת בלבד, ועוצר במשבצת המסומנת `10` בסוף המהלך העשירי שלו, ומסתיים במשבצת המסומנת `21`. שני מהלכים רצופים אינם יכולים להתבצע באותו כיוון - כלומר, עליך לבצע פנייה לאחר כל מהלך. מקורות:

  • מרוץ היאכטות

    ובכן, יא יבשושים, הניפו את המפרשים הקדמיים הקטנים שלכם, שלפו את הספינקרים, שחררו את יריעות הבלון והכינו את מפרשי הראש שלכם!

    המרוץ שלנו מורכב מלהתחיל מהנקודה שבה היאכטה נמצאת באיור ולגעת בכל אחד משישים וארבעת המצופים בארבעה-עשר מסלולים ישרים, ולחזור בזיגזג הסופי למצוף ממנו התחלנו. המסלול השביעי חייב להסתיים במצוף שעליו מתנוסס דגל.

    חידה זו תדרוש מיומנות ימית רבה בשל הזוויות החדות שבהן יהיה צורך לעיתים לעשות זיגזג. חוד של עיפרון ועין ימית טובה הם כל הציוד שאנו זקוקים לו.  

    זה קשה, בגלל התנאי לגבי מצוף הדגל, ובגלל שזהו מסלול חוזר. אבל שוב מותרים לנו הקווים האלכסוניים האלה.

    מקורות:

  • סנט ג'ורג' והדרקון

    הנה חידה קטנה על לוח שחמט מצומצם של ארבעים ותשעה משבצות. סנט ג'ורג' רוצה להרוג את הדרקון. הריגת דרקונים הייתה בילוי ידוע שלו, וכאביר, זה היה טבעי שהוא ירצה לבצע את המשימה בסדרת מהלכי פרש. האם תוכלו להראות כיצד, החל מהמשבצת המרכזית, הוא יכול לבקר פעם אחת בלבד בכל משבצת בלוח בשרשרת של מהלכי פרש, ולסיים בלכידת הדרקון במהלך האחרון שלו? כמובן שמגוון דרכים שונות פתוחות בפניו, אז נסו לגלות מסלול שיוצר עיצוב נאה כלשהו כאשר סימנתם כל קפיצה עוקבת על ידי קו ישר ממשבצת למשבצת. מקורות:

  • שדות התירס של החוואי לורנס

    אחד האזורים היפים ביותר בקרבת לונדון לטיול קיץ הוא אותו חלק של בקינגהאמשייר המכונה עמק הצ'ס—לפחות, כך היה לפני כמה שנים, לפני שנתגלה על ידי הקבלן הספקולטיבי. בתחילת המאה הנוכחית חי, לא רחוק מלטיימרס, חקלאי מכובד אך תמהוני בשם לורנס. אחד הרעיונות המוזרים שלו היה שכל אדם שגר ליד גדות נהר הצ'ס צריך להיות בדרך כלשהי בקיא במשחק האצילי באותו שם, וכדי להטביע עובדה זו על אנשיו ושכניו הוא אימץ לעתים טרמינולוגיה מוזרה. לדוגמה, כאשר אחת הכבשות שלו הציגה לו טלה, הוא היה אומר שהיא "הכתירה רגלי"; כאשר הוא הקים אסם חדש מול הכביש המהיר, הוא כינה זאת "הצרחה בצד המלך"; וכאשר הוא שלח אדם עם אקדח כדי להרחיק את הציפורים של שכנו משדותיו, הוא דיבר על זה כ"תקיפת הצריחים של יריבו". כולם בשכונה נהגו להתבדר מהבדיחות הקטנות של החוואי לורנס, ונער אחד (הליצן של הכפר) שספג משיכות אוזניים מהג'נטלמן הזקן על שגנב את ה"ערמונים" שלו הרחיק לכת עד כדי כך שכינה אותו "מגן שחמט זקן ומטופש!"

    באחת השנים היה לו שדה מרובע גדול המחולק לארבעים ותשעה מגרשים מרובעים, כפי שמוצג באיור. הריבועים הלבנים נזרעו בחיטה והריבועים השחורים בשעורה. כשמגיע זמן הקציר הוא נתן הוראה שאנשיו יחתכו תחילה את התירס בחלקה המסומנת `1`, וכי כל חיתוך עוקב יהיה בדיוק מהלך פרש מהאחרון, החיתוך השלושה עשר יהיה בחלקה המסומנת `13`, העשרים וחמישי בחלקה המסומנת `25`, השלושים ושבעה בזו המסומנת `37`, והאחרון, או ארבעים ותשעה, בחלקה המסומנת `49`. זה היה יותר מדי עבור הודג' המסכן, ובכל יום החוואי לורנס היה צריך לרדת לשדה ולהראות על איזה חלק צריך להפעיל. אבל הבעיה אולי לא תציג קושי לקוראים שלי.

    מקורות: