代数学, 代数技巧
这侧重于用于操作和简化代数表达式的具体方法和技能，例如因式分解、展开、合并同类项、处理分数和简化根式。问题需要熟练应用这些技巧。
乘法公式/代数恒等式 裂项求和 根/根式 乘以共轭式-
二次方程的根的关系
给定二次方程 `ax^2+bx+c=0` ，其解为 `x_{1,2}={-b+-sqrt{b^2-4ac}}/{2a}`。
甲：证明韦达定理：`x_1x_2=c/a` `x_1+x_2=-b/a,`。
乙：用a，b，c表示以下表达式： `1/{x_1^2}+1/{x_2^2}` `1/x_1+1/x_2, ` `x_1^3+x_2^3,` `x_1^2+x_2^2`。
来源： -
分解和公式的应用
一个有趣的公式是 `x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)`。
a: 利用此公式分解表达式 `a^n-b^n`。
b: 当 n 为任意奇数时，分解表达式 `a^n+b^n`。
c: 证明如果 `2^n-1` 是素数，那么 n 也是素数。
d: 证明如果 `2^n+1` 是素数，那么 n 必然是 2 的幂，这等价于 `n=2^m`
来源： -
具有整数系数的多项式
设 (p(x) 是一个具有整数系数的多项式，满足 `p(-2006) < p(2006)=2005`。证明 `p(-2006)<=-2007`。
来源：
-
问题
请用最高效的方式，在不使用计算器的情况下计算：
\( { (2001 \cdot 2021+100) \cdot (1991 \cdot 2031+400) \over 2011^4}\)
来源：主题：代数学 -> 代数技巧 -> 乘法公式/代数恒等式 -
问题
请勿使用纸笔作答（当然，也不要使用计算器
):哪个数字更大： `12345678^2` 或者 `12345677*12345679` ?
来源：主题：代数学 -> 代数技巧 -> 乘法公式/代数恒等式 -
问题
证明：两个连续奇数的平方差能被`8`整除。
来源： -
问题
证明对于任何素数 `p>3 `，以下成立：`p^2-1` 可被 `6` 整除。
-
问题
给定一个自然数 `A`。当它增加 `1` 时，它的平方增加 `1001`。求 `A`。
-
问题
以下数字是否为素数：
`4^9 + 6^10 + 3^20`
-
问题
不同的实数 `x` 和 `y` 满足以下方程：
`x^2 – 2000x = y^2 – 2000y`
求 `x` 和 `y` 的和。