שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני

• שאלה 281 - צביעת פירמידה

  חידה זו עוסקת בצביעת ארבעת צדדיו של טטרהדרון, או פירמידה משולשת. אם תגזרו חתיכת קרטון בצורה משולשת כפי שמוצג באיור `1`, ואז תחצו אותה לאורך הקווים המקווקווים, היא תתקפל ותצור פירמידה משולשת מושלמת. ברצוני להזכיר לקוראיי שצבעי היסוד של הספקטרום הסולארי הם שבעה - סגול, אינדיגו, כחול, ירוק, צהוב, כתום ואדום. כשהייתי ילד לימדו אותי לזכור אותם באמצעות המילה המגושמת שנוצרה על ידי ראשי התיבות של הצבעים, "Vibgyor". בכמה דרכים שונות ניתן לצבוע את הפירמידה המשולשת, תוך שימוש בכל מקרה בצבע אחד, שניים, שלושה או ארבעה מצבעי הספקטרום הסולארי? כמובן שצד יכול לקבל רק צבע בודד, ואף צד לא יכול להישאר לא צבוע. אבל יש נקודה אחת שאני חייב להבהיר. אין לראות בארבעת הצדדים כנפרדים מבחינה אינדיבידואלית. כלומר, אם תצבעו את הפירמידה שלכם כפי שמוצג באיור `2` (כאשר הצד התחתון ירוק והצד השני שאינו נראה הוא צהוב), ואז תצבעו אחרת בסדר המוצג באיור `3`, אלה באמת אותו הדבר ונספרים כדרך אחת. כי אם תטו את מס' `2` ימינה, הוא ייפול כך שייצג את מס' `3`. הימנעות מחזרות מסוג זה היא החידה האמיתית של העניין. אם לא ניתן למקם פירמידה צבעונית כך שתדמה בדיוק בצבעיה ובסדר היחסי שלהם לפירמידה אחרת, אז הן שונות. זכרו שדרך אחת תהיה לצבוע את כל ארבעת הצדדים באדום, אחרת לצבוע שני צדדים בירוק, ואת הצדדים הנותרים בצהוב וכחול; וכן הלאה.
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים

• שאלה 282 - השרשרת של חוקר העתיקות

  לחוקר עתיקות הייתה כמות של חוליות עתיקות מוזרות, אותן לקח לנפח, וביקש ממנו לחבר אותן יחד ליצירת שרשרת ישרה אחת, בתנאי היחיד ששתי החוליות העגולות לא יהיו יחד. האיור הבא מציג את מראה השרשרת ואת צורתה של כל חוליה. כעת, נניח שהבעלים יפריד שוב את החוליות, ואז ייקח אותן לנפח אחר ויחזור בדיוק על ההוראות הקודמות שלו, מה הסיכויים שהחוליות לא יורכבו בדיוק כפי שהורכבו על ידי הנפח הראשון? זכרו שכל חוליה עוקבת יכולה להיות מחוברת לאחרת באחת משתי דרכים, בדיוק כפי שאתם יכולים לשים טבעת על האצבע שלכם בשתי דרכים, או לחבר את האצבעות המורות והאגודלים שלכם בשתי דרכים.
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> כלל המכפלה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה 283 - חֲמֵשׁ עֶשְׂרֵה אֲבָנֵי דּוֹמִינוֹ

  במקרה זה, איננו משתמשים בערכה השלמה של עשרים ושמונה אבני דומינו המצויות בקופסה רגילה. אנו מוותרים על כל אבני הדומינו שיש עליהן חמש או שש ומגבילים את עצמנו לחמש-עשרה הנותרות, כאשר ארבע-כפול-ארבע היא הגבוהה ביותר.

  בכמה דרכים שונות ניתן לסדר את חמש-עשרה אבני הדומינו בקו ישר בהתאם לכלל הפשוט של המשחק, שלפיו יש להניח תמיד מספר מול מספר דומה – כלומר, ארבע מול ארבע, ריק מול ריק, וכן הלאה? משמאל לימין ומימין לשמאל של אותו סידור ייחשבו כשתי דרכים שונות.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה 284 - מטרת הצלב

  באיור יש לנו מטרה מעט מוזרה שעוצבה על ידי צלף אקסצנטרי. הרעיון שלו היה שכדי לצבור ניקוד, עליך לפגוע בארבעה עיגולים בארבע יריות כך שאותן ארבע יריות ייצרו ריבוע. ניתן לראות מהתוצאות שנרשמו על המטרה ששני ניסיונות הצליחו. האדם הראשון פגע בארבעת העיגולים בראש הצלב, ובכך יצר את הריבוע שלו. האדם השני התכוון לפגוע בארבעת העיגולים בזרוע התחתונה, אך היריה השנייה שלו, בצד שמאל, הייתה גבוהה מדי. זה אילץ אותו להשלים את הארבעה שלו בצורה שונה ממה שהוא התכוון. כך ניתן לראות שלמרות שזה לא משנה באיזה עיגול אתה פוגע ביריה הראשונה, היריה השנייה עשויה לחייב אותך לנוהל מוגדר אם אתה רוצה להשיג את הריבוע שלך. כעת, החידה היא לומר בכמה דרכים שונות אפשר ליצור ריבוע על המטרה עם ארבע יריות.
  נושאים:

  גאומטריה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות

• שאלה 285 - ארבעה בולי דואר

  "זה קל כמו לספור", הוא ביטוי שאדם שומע לעתים. אבל ספירה פשוטה עשויה להיות מבלבלת לעתים. קחו את הדוגמה הפשוטה הבאה. נניח שזה עתה קניתם שנים-עשר בולי דואר, בצורה הזו - שלושה על ארבעה - וחבר מבקש מכם להואיל בטובכם לתת לו ארבעה בולים, כולם מחוברים יחד - בלי שאף בול יהיה תלוי רק בפינה. בכמה דרכים שונות אפשר לתלוש את ארבעת הבולים האלה? אתם רואים, אתם יכולים לתת לו `1, 2, 3, 4`, או `2, 3, 6, 7`, או `1, 2, 3, 6`, או `1, 2, 3, 7`, או `2, 3, 4, 8`, וכן הלאה. האם תוכלו לספור את מספר הדרכים השונות בהן ניתן למסור את ארבעת הבולים האלה? אין הרבה יותר מחמישים דרכים, אז זה לא ספירה גדולה. האם תוכלו לקבל את המספר המדויק?
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה 286 - צביעת הקובייה

  בכמה דרכים שונות ניתן לסמן את המספרים על קובייה בודדת, כאשר התנאי היחיד הוא שהמספרים `1` ו-`6`, המספרים `2` ו-`5`, והמספרים `3` ו-`4` חייבים להיות על צדדים נגדיים? זו שאלה פשוטה למדי, ובכל זאת היא תבלבל אנשים רבים.
  נושאים:

  קומבינטוריקה

• שאלה 287 - פאזל אקרוסטיכון

  בהכנה או בפתרון של אקרוסטיכונים כפולים, האם עלה בדעתכם לשקול את המגוון והמגבלה של צמד האותיות הראשוניות והסופיות הזמינות למילים מצטלבות? ייתכן שתצטרכו למצוא מילה שמתחילה ב-A ומסתיימת ב-B, או A ו-C, או A ו-D, וכן הלאה. שילובים מסוימים הם בלתי אפשריים בעליל—כגון, למשל, אלה עם Q בסוף. אבל נניח שאפשר למצוא מילה אנגלית טובה לכל מקרה. אז כמה צמדי אותיות אפשריים זמינים?

  נושאים:

  קומבינטוריקה

• שאלה 288 - חלוקות לוח שחמט

  לאחרונה שאלתי את עצמי את השאלה: בכמה דרכים שונות ניתן לחלק לוח שחמט לשני חלקים באותו גודל וצורה על ידי חתכים לאורך הקווים המחלקים את הריבועים? עד מהרה התברר שהבעיה מרתקת ומלאת קשיים. אני מציג אותה בצורה פשוטה, תוך שימוש בלוח בעל ממדים קטנים יותר. ברור שלוח של ארבעה ריבועים יכול להיות מחולק רק בדרך אחת - על ידי חיתוך ישר במרכז - מכיוון שלא נספור היפוכים ושיקופים כשונים. במקרה של לוח של שישה עשר ריבועים - ארבעה על ארבעה - יש בדיוק שש דרכים שונות. נתתי את כולן בתרשים, והקורא לא ימצא אחרות. כעת, קחו את הלוח הגדול יותר של שלושים ושישה ריבועים, ונסו לגלות בכמה דרכים ניתן לחתוך אותו לשני חלקים באותו גודל וצורה.
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה

• שאלה 289 - אריות וכתרים

  הגברת הצעירה באיור מתמודדת עם קושי קטן בגזירה, שבו הקורא ישמח לסייע לה. היא רוצה, מסיבה כלשהי שהיא לא מסרה לי, לחתוך את חתיכת הבד המרובעת והיקרה הזו לארבעה חלקים, כולם בדיוק באותו גודל ובאותה צורה, אבל חשוב שכל חתיכה תכיל אריה וכתר. מכיוון שהיא מתעקשת שהחתכים ייעשו רק לאורך הקווים המחלקים את הריבועים, היא נבוכה למדי לגלות איך לעשות זאת. האם תוכלו להראות לה את הדרך? יש רק שיטה אפשרית אחת לחתוך את הבד.
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות

• שאלה 290 - לוחות עם מספר אי-זוגי של משבצות

  אנו נדון כאן בשאלה של אותם לוחות המכילים מספר אי-זוגי של משבצות. נניח שהמשבצת המרכזית נחתכת תחילה, כך שיישאר מספר זוגי של משבצות לחלוקה. כעת, ברור שלוח ריבוע שלוש על שלוש ניתן לחלוקה רק בדרך אחת, כפי שמוצג באיור `1`. ניתן לראות שהחלקים A ו-B הם באותו גודל וצורה, וכי כל דרך חיתוך אחרת תייצר רק חלקים בעלי צורה זהה, אז זכרו שווריאציות אלה אינן נספרות כדרכים שונות. החידה שאני מציע היא לחתוך את הלוח חמש על חמש (איור `2`) לשני חלקים באותו גודל וצורה בכמה שיותר דרכים שונות. הדגמתי באיור דרך אחת לעשות זאת. כמה דרכים שונות יש בסך הכל? חתיכה שכאשר הופכים אותה דומה לחתיכה אחרת אינה נחשבת כבעלת צורה שונה.
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות