תורת המספרים, חשבון השאריות, סימני חלוקה

סימני חלוקה הם קיצורי דרך לקבוע האם מספר שלם מתחלק במספר שלם קטן יותר ללא שארית, מבלי לבצע את החילוק המלא. שאלות כוללות יישום כללים אלו עבור מחלקים שונים (למשל, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11) לבדיקת מספרים או מציאת ספרות חסרות.

• שאלה

  על הלוח כתובים כל המספרים מ-1 עד `10^9` (כולל `10^9`). המספרים שמתחלקים ב-3 כתובים באדום, ושאר המספרים בכחול. סכום של כל המספרים האדומים שווה ל- `X`, וסכום של כל המספרים הכחולים שווה ל- `Y`. איזה מספר גדול יותר, `2X` או `Y`, ובכמה?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 2

• חבית הבירה

  אדם קנה כמות מוזרה של יין בחביות וחבית אחת המכילה בירה. אלה מוצגים באיור, המסומנים במספר הגלונים שכל חבית הכילה. הוא מכר כמות מהיין לאדם אחד וכמות כפולה לאחר, אך שמר את הבירה לעצמו. החידה היא לציין איזו חבית מכילה בירה. האם אתה יכול לומר איזו מהן זו? כמובן, האיש מכר את החביות בדיוק כפי שקנה אותן, מבלי לתפעל בשום צורה את התכולה.
  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 76

• חילוק דיגיטלי

  זוהי חידה טובה נוספת לסדר את תשע הספרות (ללא הספרה אפס) לשתי קבוצות כך שקבוצה אחת, כאשר מחלקים אותה בשנייה, תניב מספר נתון ללא שארית. לדוגמה, `1` `3` `4` `5` `8` חלקי `6` `7` `2` `9` נותן `2`. האם הקורא יכול למצוא סידורים דומים המניבים `3, 4, 5, 6, 7, 8` ו-`9` בהתאמה? כמו כן, האם הוא יכול למצוא את זוגות המספרים הקטנים ביותר האפשריים בכל מקרה? לדוגמה, `1` `4` `6` `5` `8` חלקי `7` `3` `2` `9` נכון באותה מידה עבור `2` כמו הדוגמה האחרת שנתנו, אך המספרים גבוהים יותר.
  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 88

• שלב לבש בלש

  בביטוי הבא אותיות שונות מסמנות ספרות שונות, ואותיות זהות מסמנות ספרות זהות:

  שלב = לבש + בלש

  מצאו את המספר שלב.

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימן חלוקה ב-11 אלגברה -> משוואות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 3

• שאלה

  מצאו את המספר הטבעי הגדול ביותר, שכל ספרותיו שונות זו מזו, ואם מסתכלים על כל 3 ספרות רצופות מקבלים מספר שמתחלק ב-13.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימן חלוקה ב-11 קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 7

• המספר המיסטי אחד עשר

  האם תוכלו למצוא את המספר הגדול ביותר האפשרי המכיל תשע מתוך עשר הספרות (בהתייחסות לאפס כספרה) אשר ניתן לחלק ב-`11` ללא שארית? האם תוכלו למצוא גם את המספר הקטן ביותר האפשרי שנוצר באותו אופן ומתחלק ב-`11`? הנה דוגמה, כאשר הספרה `5` הושמטה: `896743012`. מספר זה מכיל תשע מהספרות ומתחלק ב-`11`, אך הוא אינו המספר הגדול ביותר וגם לא הקטן ביותר שיעבוד.

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימן חלוקה ב-11
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 93

• שאלה

  א. הוכיחו כי  בין `11` מספרים טבעיים תמיד אפשר לבחור שניים שספרות האחדות שלהם זהות.

  ב. הוכיחו כי  בין `11` מספרים טבעיים תמיד אפשר לבחור שניים שהפרש שלהם מתחלק ב-`10`.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-5 וב-25