תורת המספרים, חשבון השאריות, סימני חלוקה

סימני חלוקה הם קיצורי דרך לקבוע האם מספר שלם מתחלק במספר שלם קטן יותר ללא שארית, מבלי לבצע את החילוק המלא. שאלות כוללות יישום כללים אלו עבור מחלקים שונים (למשל, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11) לבדיקת מספרים או מציאת ספרות חסרות.

• שאלה

  האם קיים מספר טבעי שאם נחלק אותו בסכום ספרותיו עם שארית, נקבל `2017` גם בתור מנה, גם בשארית?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  הוכיחו כי סכום ספרות של ריבוע שלם לא יכול להיות שווה `2019 `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  נתונים שני מספרים כך שאחד מהם מתקבל מהשני על ידי שינוי סדר ספרות. הוכיחו כי ההפרש שלהם מתחלק ב-`9`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  נתון מספר טבעי `n` שגדול מסכום ספרותיו פי שלוש. הוכיחו כי `n` מתחלק ב-`27`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה

• שאלה

  יהי `n` מספר טבעי. הוכיחו כי אם סכום ספרותיו של `5n` שווה לסכום ספרותיו של `n`, אז `n` מתחלק ב-`9`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9

• מספר פלינדרומי

  מצאו מספר ארבע ספרתי פלינדרומי, שמתחלק ב-25 ולא מתחלק ב-3

  הערה: מספר פלינדרומי הינו מספר שלא ישתנה אם נקרא את הספרות שלו בסדר הפוך. למשל, המספר 5775 הינו מספר פלינדרומי, והמספר 5778 אינו מספר פלינדרומי.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-5 וב-25 קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 5

• 50 בחזקת

  הראו כי ב504 הספרות הימניות של `1+50+50^2+...+50^1000`

  מופיעה כל ספרה בכמות שמתחלקת ב 12 פעמים

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 2

• עוד 2 או 5 אבל לא 3

  כמה מספרים חמש ספרתיים מתחלקים ב-2 או ב-5, ולא מתחלקים ב-3?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 קומבינטוריקה -> כלל המכפלה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 4

• 6 על הלוח

  על הלוח כתוב המספר 6. בכל שלב מותר להוסיף את הספרה 6 לסוף המספר (כך שהיא תהיה ספרת האחדות,) או להחליף את המספר בסכום הספרות שלו.
  אילו מספרים ניתן לקבל בדרך זו? יש לתאר את כל קבוצת המספרים ולהסביר למה אין יותר

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 קומבינטוריקה -> אינדוקציה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, גמר, כיתות ג-ד שאלה 6
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, גמר, כיתות ה-ו שאלה 5

• כרטיסים עם ספרות

  לרחל יש שלושה כרטיסים עם ספרות שונות, שכולן גדולות מ-0. רחל הרכיבה מהכרטיסים האלה את כל המספרים התלת ספרתיים האפשריים וחישבה את סכומם.
  הוכיחו כי הסכום מתחלק ב-3

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ג-ד שאלה 6
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ה-ו שאלה 5