אלגברה

אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.

טכניקה אלגברית משוואות אי שוויונים בעיות מילוליות סדרות

  • חידת מדידה חדשה

    הנה חידה חדשה במדידת נוזלים שתימצא מעניינת. לאיש יש שני כלים של עשרה ליטר מלאים ביין, וכלי מדידה של חמישה ליטר ושל ארבעה ליטר. הוא רוצה לשים בדיוק שלושה ליטרים בכל אחד משני כלי המדידה. איך הוא יעשה זאת? וכמה פעולות (מזיגות מכלי אחד לכלי שני) נדרשות? כמובן, בזבוז יין, הטיה וטריקים אחרים אסורים. מקורות:

  • החלבן הישר

    חלבן ישר, בהכינו את החלב לצריכה ציבורית, השתמש בפח המסומן B, שהכיל חלב, ובפח המסומן A, שהכיל מים. מפח A הוא שפך מספיק כדי להכפיל את תכולת פח B. לאחר מכן הוא שפך מפח B לפח A מספיק כדי להכפיל את תכולתו. לבסוף, הוא שפך מפח A לפח B עד שתכולתם הייתה שווה בדיוק. לאחר פעולות אלו, הוא היה שולח את פח A ללונדון, והחידה היא לגלות מהם היחסים היחסיים של חלב ומים שהוא מספק לשולחנות ארוחת הבוקר של הלונדונים. האם הם מקבלים פרופורציות שוות של חלב ומים - או שני חלקים של חלב וחלק אחד של מים - או מה? זו שאלה מעניינת, אם כי, באופן מוזר, לא נאמר לנו כמה חלב או מים הוא מכניס לפחים בתחילת הפעולות שלו. מקורות:

  • יין ומים

    למר גודפלו יש רעיון מצוין שהוא אימץ לאחרונה. כאשר הוא עורך מסיבת ארוחת ערב קטנה ומגיע הזמן לעשן, לאחר עזיבתן של הנשים, הוא מוצא לעיתים שהשיחה עלולה להפוך פוליטית מדי, אישית מדי, איטית מדי או שערורייתית מדי. אז הוא תמיד מצליח להציג לחברה איזו חידה חדשה שהוא הסתיר בשרוולו לרגל האירוע. זה תמיד גורם לאינסוף דיונים וויכוחים מעניינים, ומכניס את כולם למצב רוח טוב.

    הנה חידה קטנה שהוא הציג בלילה הקודם, וזה יוצא דופן עד כמה החברה חלקה על תשובותיהם. הוא מילא כוס יין בחצי יין, וכוס נוספת כפולה בגודלה בשליש יין. אחר כך מילא כל כוס במים וריקן את תכולת שתיהן לכוס גדולה. "עכשיו," הוא אמר, "איזה חלק מהתערובת הוא יין ואיזה חלק מים?" האם תוכלו לתת את התשובה הנכונה?

    מקורות:

  • חבית היין

    הנה בעיה קטנה ומסקרנת. לאיש הייתה חבית בת עשרה גלונים מלאה ביין וכד. יום אחד הוא שאב כד מלא ביין ומילא את החבית במים. לאחר מכן, כאשר היין והמים התערבבו היטב, הוא שאב כד נוסף ומילא שוב את החבית במים. אז התגלה כי החבית הכילה כמויות שוות של יין ומים. האם תוכלו למצוא מנתונים אלה את נפח הכד? מקורות:

  • ערבוב התה

    "גברת ספונר התקשרה הבוקר," אמר המכולת הישר לעוזרו. "היא רוצה עשרים ליברות של תה ב-`2`s. `4`½d. לליברה. כמובן שיש לנו תה טוב ב-`2`s. `6`d., מעט נחות יותר ב-`2`s. `3`d., ותה הודי זול ב-`1`s. `9`d., אבל היא מאוד ספציפית תמיד לגבי המחירים שלה."

    "מה אתה מציע לעשות?" שאל העוזר התמים.

    "לעשות?" קרא המכולת. "פשוט לערבב את שלושת סוגי התה בפרופורציות שונות, כך שעשרים הליברות יסתדרו בצורה הוגנת במחיר של הגברת. רק אל תשים יותר מדי מהתה הטוב ביותר כפי שתוכל, מכיוון שאנחנו מרוויחים פחות על זה, וכמובן שתשתמש רק בחבילות הפאונד השלמות שלנו. אל תעשה שום שקילה."

    כיצד היה העוזר המסכן אמור לערבב את שלושת סוגי התה? האם היית יכול להראות לו איך לעשות זאת?

    מקורות:

  • אריזת זהב ברוסיה

    עורך העיתון Times הוזמן על ידי פקיד רוסי בכיר לבדוק את הזהב המאוחסן במאגר בסנט פטרסבורג, כדי שיוכל לוודא שזה לא עוד "כספת הומברט". הוא השיב שזה לא יועיל כלל, כי למרות שהזהב עשוי להיראות שם, הוא לא יוכל מתוך בדיקה בלבד להצהיר שמה שהוא רואה הוא באמת זהב. כתב של ה-Daily Mail הרים את הכפפה, אך למרות שהתרשם מאוד ממה שראה, הוא נאלץ להודות בחוסר יכולתו (מבלי לרוקן ולספור את תכולת כל קופסה ושק, ולבדוק כל חתיכת זהב) לתת כל הבטחה בנושא. בהצגת החידה הקטנה הבאה, אני רוצה שיהיה מובן גם שאני לא מבטיח את קיומו האמיתי של הזהב, והנקודה כלל לא מהותית למטרתנו. יתר על כן, אם הקורא יאמר שבדרך כלל לא "אורזים" זהב בלוחות במידות שאני נותן, אני יכול רק לטעון לרישיון בעייתי.

    פקידים רוסים עסקו באריזת `800` לוחות זהב, שכל אחד מהם באורך `12`½ אינץ', ברוחב `11` אינץ' ובעומק `1` אינץ'. מהם הממדים הפנימיים של קופסה באורך וברוחב שווים, ועומק נדרש, שתכיל אותם בדיוק מבלי להשאיר מקום פנוי? לא יותר משנים עשר לוחות ניתן להניח על קצה, על פי כללי הממשלה. זוהי בעיה קטנה ומעניינת באריזה, וכלל לא קשה.

    מקורות:

  • חביות הדבש

     

    לפני זמן רב היה סוחר קשיש מבגדד שהיה מכובד מאוד על ידי כל מי שהכיר אותו. היו לו שלושה בנים, והיה לו כלל בחיים להתייחס לכולם בדיוק אותו הדבר. בכל פעם שאחד קיבל מתנה, שני האחרים קיבלו כל אחד מתנה בשווי שווה. יום אחד האיש הראוי הזה חלה ומת, והוריש את כל רכושו לשלושת בניו בחלקים שווים.

    הקושי היחיד שהתעורר היה בנוגע למלאי הדבש. היו בדיוק עשרים ואחת חביות. הזקן השאיר הוראות שלא רק שכל בן יקבל כמות שווה של דבש, אלא יקבל בדיוק את אותו מספר חביות, ושאף דבש לא יועבר מחבית לחבית בגלל הבזבוז הכרוך בכך. כעת, מכיוון ששבע מהחביות הללו היו מלאות בדבש, שבע היו חצי מלאות ושבע היו ריקות, התברר שזה די פאזל, במיוחד כאשר כל אח התנגד לקחת יותר מארבע חביות מאותו תיאור—מלאות, חצי מלאות או ריקות. האם אתה יכול להראות כיצד הם הצליחו לבצע חלוקה נכונה של הרכוש?

    מקורות:

  • חציית הנחל

    במהלך טיול כפרי מצאו עצמם מר וגברת סופטלי בדילמה נחמדה. הם היו צריכים לחצות נחל בסירה קטנה שיכולה לשאת רק `150` ליברות משקל. אבל מר סופטלי ואשתו שקלו בדיוק `150` ליברות כל אחד, וכל אחד מבניהם שקל `75` ליברות. ואז היה הכלב, שלא ניתן היה לשכנע אותו בשום אופן לשחות. על פי העיקרון של "נשים קודם", הם מיד שלחו את גברת סופטלי, אבל זו הייתה טעות מטופשת, כי היא הייתה צריכה לחזור שוב עם הסירה, כך שלא הושג דבר בפעולה הזו. איך הם הצליחו כולם להגיע לצד השני? הקורא יגלה שזה הרבה יותר קל ממשפחת סופטלי, כי האויב הכי גדול שלהם לא יכול היה לקרוא להם בצדק רביעייה מבריקה - בעוד שהכלב היה טיפש מושלם. מקורות:

  • חציית נהר אקס

    לפני שנים רבות, בימי המבריח הידוע כ"רוב רוי של המערב", כנופיית פיראטים קברה על חוף דרום דבון כמות של אוצר אשר, כמובן, ננטש על ידם בצורה בלתי מוסברת כרגיל. כעבור זמן מה, מקום הימצאו התגלה על ידי שלושה כפריים, אשר ביקרו במקום לילה אחד וחלקו את השלל ביניהם, ג'יילס לקח אוצר בשווי £`800`, ג'ספר בשווי £`500`, וטימותי בשווי £`300`. בחזרתם הם נאלצו לחצות את נהר אקס בנקודה שבה הם השאירו סירה קטנה בהיכון. כאן, עם זאת, הייתה קושי שלא ציפו לו. הסירה יכלה לשאת רק שני אנשים, או אדם אחד ושק, והיה להם כל כך מעט אמון זה בזה שאף אדם לא יכול היה להישאר לבד על היבשה או בסירה עם יותר מחלקו בשלל, אם כי שני אנשים (בהיותם בלמים זה על זה) עשויים להישאר עם יותר מחלקם. החידה היא להראות כיצד הם עברו את הנהר במספר המינימלי האפשרי של חציות, תוך שהם לוקחים איתם את האוצר שלהם. אין להשתמש בתחבולות, כגון חבלים, "גשרים מעופפים", זרמים, שחייה או תחבולות דומות. מקורות:

  • גְּנֵבַת אוֹצַר הַטִּירָה

    הַדֶּרֶךְ הַמְּתוּחְכֶּמֶת בָּהּ נִגְנְבָה תֵּבַת אוֹצָר, הַמְּכִילָה בְּעִיקָרָהּ תַּכְשִׁיטִים וַאֲבָנִים יְקָרוֹת, מִטִּירַת גְּלוּמְהֶרְסְט, עָבְרָה כְּמָסֹרֶת בְּמִשְׁפַּחַת דֶּה גּוּרְנֵי. הַגַּנָּבִים הִתְכַּלְּלוּ מֵאִישׁ, נַעַר וְיֶלֶד קָטָן, שֶׁדֶּרֶךְ הַמִּלּוּט הַיְּחִידָה שֶׁלָּהֶם עִם תֵּבַת הָאוֹצָר הָיְתָה דֶּרֶךְ חַלּוֹן גָּבוֹהַּ. מִחוּץ לַחַלּוֹן הוּצַּב גַּלְגֶּלֶת, שֶׁעָלֶיהָ עָבַר חֶבֶל עִם סַל בְּכָל קָצֶה. כְּשֶׁסַּל אֶחָד הָיָה עַל הַקַּרְקַע, הַשֵּׁנִי הָיָה בַּחַלּוֹן. הַחֶבֶל סֻדַּר כָּךְ שֶׁהָאֲנָשִׁים בַּסַּל לֹא יָכְלוּ לַעֲזֹר לְעַצְמָם בְּאֶמְצָעוּתוֹ וְלֹא לְקַבֵּל עֶזְרָה מֵאֲחֵרִים. בְּקִצּוּר, הַדֶּרֶךְ הַיְּחִידָה לְשִׁמּוּשׁ בַּסַּלִּים הָיְתָה עַל יְדֵי הַצָּבַת מִשְׁקָל כָּבֵד יוֹתֵר בְּאֶחָד מֵהַשֵּׁנִי.

    עַכְשָׁו, מִשְׁקַל הָאִישׁ הָיָה `195` לִיבְּרוֹת, הַנַּעַר `105` לִיבְּרוֹת, הַיֶּלֶד `90` לִיבְּרוֹת וְתֵּבַת הָאוֹצָר `75` לִיבְּרוֹת. הַמִּשְׁקָל בַּסַּל הַיּוֹרֵד לֹא יָכֹל לַחְרֹג מִזֶּה שֶׁבַּשֵּׁנִי בְּיוֹתֵר מִ `15` לִיבְּרוֹת בְּלִי לִגְרֹם לִירִידָה כֹּה מְהִירָה שֶׁתִּהְיֶה מְסֻכֶּנֶת בְּיוֹתֵר לְבֶן אָדָם, אַף עַל פִּי שֶׁלֹּא תִּגְרֹם נֶזֶק לָרְכוּשׁ הַגָּנוּב. רַק שְׁנֵי אֲנָשִׁים, אוֹ אָדָם אֶחָד וְהָאוֹצָר, יָכְלוּ לְהָנִיחַ בְּאוֹתוֹ סַל בְּבַת אַחַת. אֵיךְ הֵם הִצְלִיחוּ לִבְרֹחַ וְלָקַחַת אִתָּם אֶת תֵּבַת הָאוֹצָר?

    הַחִידָה הִיא לִמְצֹא אֶת הַדֶּרֶךְ הַקְּצָרָה בְּיוֹתֵר לְבִצּוּעַ הַמַּעֲשֶׂה, שֶׁכְּשֶׁעַצְמוֹ אֵינוֹ קָשֶׁה. זִכְרוּ, אָדָם לֹא יָכוֹל לַעֲזֹר לְעַצְמוֹ עַל יְדֵי תְּלִיָּה עַל הַחֶבֶל, הַדֶּרֶךְ הַיְּחִידָה הִיא לָרֶדֶת "עִם מַהֲלוּמָה," כְּשֶׁהַמִּשְׁקָל בַּסַּל הַשֵּׁנִי כְּמִשְׁקָל נֶגְדִּי.

    מקורות: