אלגברה

אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.

טכניקה אלגברית משוואות אי שוויונים בעיות מילוליות סדרות

  • קושי משפטי

    "אחד הלקוחות שלי", אמר עורך דין, "היה על סף מוות כאשר אשתו עמדה ללדת לו ילד. ערכתי את צוואתו, שבה הוא העביר שני שלישים מעיזבונו לבנו (אם יקרה שזה יהיה בן) ושליש אחד לאם. אבל אם הילד תהיה בת, אז שני שלישים מהעיזבון צריכים לעבור לאם ושליש אחד לבת. למעשה, לאחר מותו נולדו תאומים - בן ובת. ואז עלתה נקודה נחמדה מאוד. איך לחלק את העיזבון בצורה הוגנת בין שלושתם בהתאם לרוח צוואתו של המנוח ככל האפשר?" מקורות:

  • חופשת הכורים

    שבעה כורי פחם יצאו לחופשה בחוף הים במהלך שביתה גדולה. שישה מהחבורה הוציאו בדיוק חצי ליש"ט כל אחד, אבל ביל האריס היה יותר פזרן. ביל הוציא שלושה שילינג יותר מהממוצע של החבורה. מה היה סכום ההוצאה המדויק של ביל? מקורות:

  • בעיה בריבועים

    יש ברשותנו שלושה לוחות מרובעים. שטח הפנים של הראשון מכיל חמישה רגל רבוע יותר מהשני, והשני מכיל חמישה רגל רבוע יותר מהשלישי. האם תוכלו לתת מידות מדויקות עבור צלעות הלוחות? אם תוכלו לפתור את החידה הקטנה הזו, נסו למצוא שלושה ריבועים בסדרה חשבונית, עם הפרש קבוע של `7` וגם של `13`. מקורות:

  • קרב הייסטינגס

    כל ההיסטוריונים יודעים שיש מידה רבה של מסתורין וחוסר ודאות בנוגע לפרטי הקרב הבלתי נשכח לעולם באותו יום גורלי, `14` באוקטובר `1066`. החידה שלי עוסקת בקטע מוזר בכרוניקה נזירית עתיקה שאולי לעולם לא תקבל את תשומת הלב הראויה לה, ואם אינני יכול לערוב לאותנטיות של המסמך, הוא בכל זאת ישמש אותנו כדי לספק לנו בעיה שקשה שלא תעניין את אותם קוראים שלי שיש להם נטיות אריתמטיות. הנה הקטע המדובר.

    "אנשיו של הרולד עמדו יחד היטב, כמנהגם, ויצרו שישים ואחת ריבועים, עם מספר שווה של אנשים בכל ריבוע מהם, ואוי לנורמני האמיץ שהעז להיכנס למעוזיהם; שכן מכה בודדת של גרזן מלחמה סקסוני תשבור את חניתו ותחתוך את מעיל השרשראות שלו.... כאשר הרולד השליך את עצמו לתוך המהומה, הסקסונים היו ריבוע אדיר אחד של אנשים, שצועקים את קריאות הקרב, 'Ut!' 'Olicrosse!' 'Godemitè!'"

    כעת, אני מגלה שכל הרשויות העכשוויות מסכימות שהסקסונים אכן נלחמו בסדר מוצק זה. לדוגמה, ב"Carmen de Bello Hastingensi," שיר המיוחס לגאי, הבישוף של אמיין, שחי בתקופת הקרב, נאמר לנו ש"הסקסונים עמדו קבועים במסה צפופה," והנרי מהנטינגדון רושם ש"הם היו כמו טירה, בלתי חדירים לנורמנים;" בעוד רוברט וייס, כעבור מאה שנה, מספר לנו את אותו הדבר. אז מבחינה זו הכרוניקה החדשה שלי עשויה שלא לטעות כל כך. אבל יש לי סיבה להאמין שמשהו לא בסדר עם המספרים בפועל. תן לקורא לראות מה הוא יכול לעשות מהם.

    מספר האנשים יהיה שישים ואחת פעמים מספר ריבועי; אבל כאשר הרולד עצמו הצטרף למהומה, הם הצליחו ליצור ריבוע גדול אחד. מהו המספר הקטן ביותר האפשרי של אנשים שיכולים היו להיות שם?

    כדי להבהיר לקורא את הפשטות של השאלה, אתן את הפתרונות הנמוכים ביותר במקרה של `60` ו-`62`, המספרים שמיד לפני ואחרי `61`. הם `60xx4^2+1 = 31^2`, ו-`62xx8^2+1=63^2`. כלומר, `60` ריבועים של `16` אנשים כל אחד יהיו `960` אנשים, וכאשר הרולד הצטרף אליהם הם יהיו `961` במספר, וכך יצרו ריבוע עם `31` אנשים בכל צד. באופן דומה במקרה של המספרים שנתתי עבור `62`. עכשיו, מצא את התשובה הנמוכה ביותר עבור `61`.

    מקורות:

  • הבעיה של הפסל

    פסל קדום הוזמן לספק שני פסלים, כל אחד על גבי כן מעוקב. אנו עוסקים בכנים אלה. הם היו בגדלים שונים, כפי שניתן לראות באיור, וכאשר הגיע הזמן לתשלום התגלעה מחלוקת בשאלה האם ההסכם התבסס על מדידה קווית או מעוקבת. אך ברגע שהם באו למדוד את שני הכנים, העניין הוסדר מיד, מכיוון שמספר הרגליים הקווי היה זהה בדיוק למספר הרגליים המעוקב. החידה היא למצוא את המידות לשני כנים בעלי תכונה זו, במספרים הקטנים ביותר האפשריים. אתם מבינים, אם שני הכנים, למשל, מודדים `3` רגל ו-`1` רגל בכל צד, אז המדידה הקווית תהיה `4` רגל והתכולה המעוקבת `28` רגל, שאינם זהים, כך שהמידות האלה לא יתאימו. מקורות:

  • הקמצן הספרדי

    בעיירה קטנה בקסטיליה החדשה חי פעם קמצן ידוע בשם דון מנואל רודריגז. אהבתו לכסף הושוותה רק לתשוקה עזה לבעיות אריתמטיות. חידות אלה עסקו בדרך כלל באופן כזה או אחר באוצרותיו שנצברו, והוצעו על ידו אך ורק כדי שיוכל ליהנות מלפתור אותן בעצמו. למרבה הצער, רק מעטות מהן שרדו, וכאשר טיילתי בספרד, ואספתי חומר לעבודה מוצעת על "הבצל הספרדי כגורם לשקיעה לאומית", גיליתי רק מעטות מאוד. אחת מהן עוסקת בשלוש הקופסאות המופיעות בפורטרט האותנטי המצורף. כל קופסה הכילה מספר שונה של דובלוני זהב. ההפרש בין מספר הדובלונים בקופסה העליונה למספר בקופסה האמצעית היה זהה להפרש בין המספר בקופסה האמצעית למספר בקופסה התחתונה. ואם תכולתן של שתיים כלשהן מהקופסאות היו מאוחדות, הן היו יוצרות מספר ריבועי. מהו המספר הקטן ביותר של דובלונים שיכול היה להיות באחת מהקופסאות? מקורות:

  • תשע תיבות האוצר

    החידה הבאה תמחיש את החשיבות של היכולת לקבוע את הגבולות המינימליים והמקסימליים של מספר נדרש. לעתים קרובות ניתן לעשות זאת. לדוגמה, טרם התברר בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את מסע הפרש על לוח השחמט; אבל אנו יודעים שזה פחות ממספר הצירופים של `168` דברים שנלקחו `63` בכל פעם ויותר מ-`31,054,144`—כי האחרון הוא מספר המסלולים מסוג מסוים. או, כדי לקחת מקרה מוכר יותר, אם תשאל אדם כמה מטבעות יש לו בכיס, הוא עשוי לומר לך שאין לו מושג קלוש. אבל בחקירה נוספת תוציא ממנו הצהרה כגון: "כן, אני בטוח שיש לי יותר משלושה מטבעות, ובאותה מידה בטוח שאין כל כך הרבה כמו עשרים וחמישה." כעת, הידיעה שמספר מסוים נמצא בין `2` ל-`12` בחידה שלי תאפשר לפותר למצוא את התשובה המדויקת; ללא מידע זה יהיה מספר אינסופי של תשובות, מהן לא ניתן יהיה לבחור את הנכונה.

    זוהי חידה נוספת שהתקבלה מחברי דון מנואל רודריגז, הקמצן התמהוני של ניו קסטיליה. בערב ראש השנה האזרחית בשנת `1879` הוא הראה לי תשע תיבות אוצר, ולאחר שהודיע לי שכל תיבה הכילה מספר ריבועי של דובלונים מוזהבים, ושההפרש בין תכולת A ו-B היה זהה לזה שבין B ו-C, D ו-E, E ו-F, G ו-H, או H ו-I, הוא ביקש ממני לומר לו את מספר המטבעות בכל אחת מהקופסאות. בהתחלה חשבתי שזה בלתי אפשרי, שכן יהיה מספר אינסופי של תשובות שונות, אבל לאחר מחשבה גיליתי שזה לא המקרה. גיליתי שבעוד שכל תיבה הכילה מטבעות, התכולה של A, B, C גדלה במשקל בסדר אלפביתי; כך גם D, E, F; וכך גם G, H, I; אבל D או E לא צריכים להיות כבדים יותר מ-C, וגם G או H לא צריכים להיות כבדים יותר מ-F. כמו כן, היה ברור לחלוטין שתיבה A לא יכולה להכיל יותר מתריסר מטבעות מבחוץ; ייתכן שלא יהיה חצי מהמספר הזה, אבל הייתי בטוח שלא היו יותר משנים עשר. עם הידע הזה הצלחתי להגיע לתשובה הנכונה.

    בקיצור, עלינו לגלות תשעה מספרים ריבועיים כך ש-A, B, C; ו-D, E, F; ו-G, H, I הן שלוש קבוצות בסדרה חשבונית, כאשר ההפרש הקבוע זהה בכל קבוצה, ו-A קטן מ-`12`. כמה דובלונים היו בכל אחת מתשע התיבות?

    מקורות:

  • חמשת השודדים

    חמשת השודדים הספרדים, אלפונסו, בניטו, קרלוס, דייגו ואסטבן, ספרו את שללם לאחר פשיטה, כאשר התגלה שהם שדדו יחד בדיוק `200` דובלונים. אחד מהחבורה ציין שאם לאלפונסו יהיה פי שנים עשר, לבניטו פי שלושה, לקרלוס אותו סכום, לדייגו חצי מהסכום ולאסטבן שליש מהסכום, עדיין יהיו להם יחד בדיוק `200` דובלונים. כמה דובלונים היו לכל אחד?

    ישנן תשובות נכונות רבות באותה מידה לשאלה זו. הנה אחת מהן:

    A 6 × 12 = 72
    B 12 × 3 = 36
    C 17 × 1 = 17
    D 120 × ½ = 60
    E 45 × 1/3 = 15
      200       200

    החידה היא לגלות בדיוק כמה תשובות שונות יש, בהנחה שלכל אחד היה משהו ושאסור שיהיה כסף חלקי — רק דובלונים בכל מקרה.

    בעיה זו, שניסוחה שונה במקצת, הוצגה על ידי טרטליה (נפטר ב-`1559`), והוא החמיא לעצמו שהוא מצא פתרון אחד; אבל מתמטיקאי צרפתי ידוע (M.A. Labosne), בעבודה מהעת האחרונה, אומר שקוראיו יופתעו כאשר הוא מבטיח להם שיש `6,639` תשובות נכונות שונות לשאלה. האם זה כך? כמה תשובות יש?

    מקורות:

  • הבעיה של סתת האבנים

    לסתת אבנים היה פעם מספר גדול של קוביות אבן בחצר שלו, כולן באותו גודל בדיוק. היו לו כמה הרגלים קטנים דמיוניים מאוד, ואחד הרעיונות המוזרים שלו היה לשמור את הבלוקים האלה מוערמים בערימות מעוקבות, כך שאין שתי ערימות שמכילות את אותו מספר בלוקים. הוא גילה בעצמו (עובדה שידועה היטב למתמטיקאים) שאם הוא היה לוקח את כל הבלוקים הכלולים במספר כלשהו של ערימות בסדר רגיל, החל מהקוביה הבודדת, הוא תמיד יכול היה לסדר אותם על הקרקע כדי ליצור ריבוע מושלם. זה יהיה ברור לקורא, מכיוון שבלוק אחד הוא ריבוע, `1+8 = 9` הוא ריבוע, `1+8+27=36` הוא ריבוע, `1+8+27+64=100` הוא ריבוע, וכן הלאה. למעשה, סכום כל מספר של קוביות עוקבות, החל תמיד מ-`1`, הוא בכל מקרה מספר ריבועי.

    יום אחד נכנס ג'נטלמן לחצר של הבנאי והציע לו מחיר מסוים אם יספק לו מספר עוקב של ערימות מעוקבות אלה, שאמורות להכיל יחד מספר בלוקים שניתן לפרוס ליצירת ריבוע, אך הקונה התעקש על יותר משלוש ערימות וסירב לקחת את הבלוק הבודד מכיוון שהיה בו פגם. מה היה המספר הקטן ביותר האפשרי של בלוקי אבן שהבנאי היה צריך לספק?

    מקורות:

  • הדילמה של אנשי הארטילריה

    "יש לערום את כל כדורי התותח בפירמידות מרובעות," הייתה הפקודה שהוצאה לגדוד. כך נעשה. ואז הגיעה הפקודה הנוספת, "כל הפירמידות צריכות להכיל מספר ריבועי של כדורים." ואז החלו הצרות. "אי אפשר לעשות את זה," אמר המג'ור. "תסתכלו על הפירמידה הזו, למשל; יש שישה עשר כדורים בבסיס, אחר כך תשעה, אחר כך ארבעה, ואז אחד בקצה, מה שנותן שלושים כדורים בסך הכל. אבל חייבים להיות עוד שישה כדורים, או חמישה פחות, כדי ליצור מספר ריבועי." "חייבים לעשות את זה," התעקש הגנרל. "כל מה שאתם צריכים לעשות הוא לשים את המספר הנכון של כדורים בפירמידות שלכם." "הבנתי!" אמר סגן, הגאון המתמטי של הגדוד. "הניחו את הכדורים בנפרד." "שטויות!" קרא הגנרל. "אתה לא יכול לערם כדור אחד לפירמידה!" האם באמת אפשר לציית לשתי הפקודות? מקורות: