בעיות מינימום ומקסימום

בעיות אלו, הידועות גם כבעיות אופטימיזציה, כוללות מציאת הערך הקטן ביותר (מינימום) או הגדול ביותר (מקסימום) של כמות או פונקציה תחת אילוצים נתונים. טכניקות יכולות לנוע מאי-שוויונים אלגבריים, חשיבה גאומטרית, ועד לחשבון דיפרנציאלי (אם רלוונטי).

• שאלה

  נתון דף נייר בגודל `10×10` ס"מ. האם תוכלו לגזור מהדף הזה מספר עיגולים שסכום הקטרים שלהם יהיה גדול מ-`5` מטרים?

  נושאים:

  אריתמטיקה גאומטריה -> חשבון שטחים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה

• 9 מטבעות

  נתונים `9` מטבעות זהים למראה. אחד מהמטבעות מזויף, ומשקלו קטן יותר ממשקל של מטבע רגיל. איך למצוא את המטבע המזויף באמצעות שתי שקילות במאזני כף ללא משקולות?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת האלגוריתמים -> שקילות בעיות מינימום ומקסימום

• 26 מטבעות

  נתונים `26` מטבעות זהים למראה. אחד מהמטבעות מזויף, ומשקלו קטן יותר ממשקל של מטבע רגיל. איך למצוא את המטבע המזויף באמצעות שלוש שקילות במאזני כף ללא משקולות?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה לוגיקה -> הגיון תורת האלגוריתמים -> שקילות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום

• 80 מטבעות

  נתונים `80` מטבעות זהים למראה. אחד מהמטבעות מזויף, ומשקלו קטן יותר ממשקל של מטבע רגיל. איך למצוא את המטבע המזויף באמצעות ארבע שקילות במאזני כף ללא משקולות?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה לוגיקה -> הגיון תורת האלגוריתמים -> שקילות בעיות מינימום ומקסימום

• המלך והשרים המושחתים

  למלך של הארץ הקסומה יש `100` שרים. ידוע כי בין כל `10` שרים שניקח, יש לפחות שר אחד מושחת. מהו המספר המינימלי האפשרי של שרים מושחתים בארץ הקסומה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה

  מהו המספר המקסימלי של מלכי שח שניתן להציב על לוח `8xx8`, כך שהם לא יאיימו אחד על שני?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות

• שאלה

  מהו המספר המקסימלי של צריחי שח שניתן להציב על לוח `8xx8`, כך שהם לא יאיימו אחד על שני?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה

  במרובע אורכי כל האלכסונים וכל הצלעות קטנים מ- 1. הוכח כי ניתן לכסות את המרובע ע"י עיגול ברדיוס 0.9.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ב, אביב

• ריבועים

  ברשותכם הרבה ריבועים מקרטון בגדלים `1 times 1`, `2 times 2` ו `3 times 3` ועליכם להרכיב מהם ריבוע בגודל `7 times 7`
  מה הוא המספר הקטן ביותר האפשרי של ריבועים שתצטרכו?

  נושאים:

  גאומטריה בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 5

• סוגריים

  הוסיפו סוגריים כדי שהתוצאה תהיה הגדולה ביותר:

  `10000-1000-100-10-1`

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, גמר, כיתות ג-ד שאלה 2
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, גמר, כיתות ה-ו שאלה 1