בעיות מינימום ומקסימום

בעיות אלו, הידועות גם כבעיות אופטימיזציה, כוללות מציאת הערך הקטן ביותר (מינימום) או הגדול ביותר (מקסימום) של כמות או פונקציה תחת אילוצים נתונים. טכניקות יכולות לנוע מאי-שוויונים אלגבריים, חשיבה גאומטרית, ועד לחשבון דיפרנציאלי (אם רלוונטי).

• שאלה

  בקודקודיו של מחומש משוכלל כתובים המספרים `1,2,3,4,5`, כל מספר בקודקוד אחד בדיוק. שלשה של קודקודים נקראת מוצלחת אם היא יוצרת משולש שווה שוקיים, שבקודקוד הראש שלו יש מספר גדול יותר מבשני הקודקודים האחרים או שבקודקוד הראש שלו יש מספר קטן יותר מבשני הקודקודים האחרים.

  מצאו את המספר המרבי של שלשות מוצלחות שיכולות להיות.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה בעיות מינימום ומקסימום

• עוד קוביות משחק

  לאביב יש קוביות משחק, שבכל אחת מהן שתי פאות נגדיות צבועות באדום והשאר בכחול.
  אביב הדביק קובייה 3 × 3 × 3 מקוביות המשחק. לאחר מכן הגיע חברו כפיר וחישב את כל השטח האדום על פני הקובייה הגדולה.
  מהי התוצאה הגדולה ביותר שכפיר יכול לקבל?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> צביעות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 6

• שתי סולמיות

  מהו המספר המרבי של צורות "דומינו" (מלבנים `1 times 2` או `2 times 1`) שניתן למקם בתוך הצורה הכתומה,
  כך שהם לא יעלו אחד על השני ולא יחרגו מחוץ לגבולות הצורה?

  

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 2
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 1

• היקף גדול

  מציירים על נייר משבצות מצולע עם שטח 12, שכל צלעותיו עוברות על קווי המשבצות. מהו ההיקף הגדול ביותר שיכול להיות למצולע זה?

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 5

• שקילת מטבעות

  נתונים שבעה מטבעות זהים למראה, ארבעה מתוכם אמיתיים ושלושה מזויפים. שלושת המטבעות המזויפים זהים במשקלם וכן ארבעת המטבעות האמיתיים.
  ידוע כי מטבע מזויף קל יותר ממטבע אמיתי. בשקילה אחת ניתן לבחור בשתי קבוצות של מטבעות ולבדוק מי מהן קלה יותר, או אם משקלן זהה.
  כמה שקילות נחוצות על מנת לאתר מטבע מזויף אחד לפחות.

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת האלגוריתמים -> שקילות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 1

• ציור של קשר

  נתון לוח משבצות בגודל 5x5 שמחולק למשבצות 1x1. שתי משבצות נקראות קשורות אם הן נמצאות באותה שורה או באותה עמודה, והמרחק בין מרכזי המשבצות הוא 2 או 3.
  לדוגמה, בציור מסומנות בצבע אפור כל המשבצות הקשורות למשבצת האדומה. סמי מקבל לוח לבן, ורוצה לסמן עליו כמה שיותר משבצות שאף שתיים מהן אינן קשורות זו לזו. מהי הכמות המרבית של משבצות שהוא יכול לסמן?
  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ט שאלה 2

• קבוצות במישור

  א. האם קיימת במישור קבוצה A שחיתוכה עם כל מעגל מכיל שתי נקודות בדיוק?

  ב. האם קיימת במישור קבוצה B שחיתוכה עם כל מעגל ברדיוס 1 מכיל שתי נקודות בדיוק?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת הקבוצות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 3

• שאלה

  נתונות מספר קופסאות כבדות שאפשר להסיע אותן באמצעות 7 משאיות עם קיבולת של 6 טון כל אחת, אבל אי-אפשר להסיען באמצעות 6 משאיות מסוג זה.
  א. האם ייתכן שאפשר להסיע אותן ב-3 משאיות שקיבולת של כל אחת היא 7 טון?
  ב. האם ייתכן שאפשר להסיע אותן ב-3 משאיות שקיבולת של כל אחת היא 10 טון?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 5

• שאלה

  נניח ש- `x,y,z` מספרים חיוביים שסכומם 1. מהו הערך הקטן ביותר שיכול לקבל המספר הגדול מבין `x/5, y/7, z/11`?

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 3

• שאלה

  מצאו את הערך המקסימלי האפשרי של `(3+sqrt(289-y^2) + x)^2 + (4+sqrt(64-x^2) + y)^2` בהנחה ש `-17<=y<=17`, `-8<= x <=8`
  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים בעיות מינימום ומקסימום אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 4