组合数学, 鸽巢原理
鸽巢原理指出，如果将`n`个物品放入`m`个容器中，且`n > m`，则至少有一个容器必须包含多个物品。问题涉及应用此原理（及其推广形式）来证明存在性或在各种场景中建立界限。
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苹果和梨
有一个篮子里有 `30` 个水果。已知从篮子里取出的任意 `12` 个水果中，必然至少有一个苹果，并且在任意 `20` 个水果中，必然有一个梨。篮子里有多少个苹果和多少个梨？
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问题
在一个立方体的顶点上写着数字 `1`, `2`, `3`, ..., `8`。证明存在立方体的一条边，其两端数字之差至少为 `3`。
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纸张堆叠
桌子上有一些相同的矩形纸张。已知最上面的纸张覆盖了任何其他纸张超过一半的面积。是否一定可以在桌子上钉一个钉子，使其穿过所有这些纸张？
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问题
证明每个多面体都有两个面具有相同数量的边。
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圆桌骑士
圆桌旁坐着 12 位骑士，他们每个人要么是精灵，要么是矮人。已知精灵的数量多于矮人的数量。证明存在两个面对面坐着的精灵。
如果骑士的总数为 120，这个结论仍然成立吗？
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问题
证明：从五个整数中，可以选择两个，它们的差能被`4`整除。
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问题
A. 证明在 `11` 个自然数中，总能选出两个数，它们的个位数相同。
B. 证明在 `11` 个自然数中，总能选出两个数，它们的差能被 `10` 整除。
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问题
有`21`个孩子，他们总共有`200`个坚果。证明存在两个孩子，他们拥有相同数量的坚果。
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问题
在一个班级里有 `30` 名学生。在一次考试中，彭哈斯犯了 `13` 个错误，其余的人犯的错误都更少。证明有三名学生犯了相同数量的错误。
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问题
数字 `1` 到 `2n` 以某种顺序写在一行中。 将每个数字添加到它所处位置的索引。 证明在我们得到的 `2n` 个总和中，有两个总和的差能被 `2n` 整除。