שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני

  • שאלה 241 - המעגל המנותח

    כמה קווים רציפים, מבלי להרים את העיפרון מהנייר, נדרשים כדי לצייר את העיצוב המוצג באיור שלנו? ברגע שאתה משנה את כיוון העיפרון שלך, מתחיל קו חדש. אתה יכול לעבור על אותו קו יותר מפעם אחת אם תרצה. זה דורש קצת זהירות, או שאולי תגלה שהובסת על ידי קו אחד.

  • שאלה 242 - החידה של מפקח הצינורות

    האיש באיור שלנו נמצא בדילמה קטנה. הוא זה עתה מונה למפקח של מערכת מסוימת של רכבות תחתיות, וחובתו לבדוק באופן סדיר, בתוך תקופה מוגדרת, את כל שבעה-עשר הקווים של החברה המחברים שנים-עשר תחנות, כפי שמוצג בתוכנית הפוסטר הגדולה שהוא מהרהר בה. עכשיו הוא רוצה לארגן את המסלול שלו כך שהוא יעבור על כל הקווים עם כמה שפחות נסיעות. הוא יכול להתחיל איפה שהוא רוצה ולסיים איפה שהוא רוצה. מהו המסלול הקצר ביותר שלו?

    האם יכול להיות משהו פשוט יותר? אבל הקורא יגלה עד מהרה, כי בכל דרך שיחליט להמשיך, המפקח חייב לעבור על חלק מהקווים יותר מפעם אחת. במילים אחרות, אם נאמר שהתחנות מרוחקות זו מזו במייל, הוא יצטרך לנסוע יותר משבעה-עשר מיילים כדי לבדוק כל קו. שם נמצא הקושי הקטן. כמה רחוק הוא נאלץ לנסוע, ואיזה מסלול אתה ממליץ? 

  • שאלה 243 - ביקור בעיירות

    מטייל, היוצא מעיירה מס' `1`, מעוניין לבקר בכל אחת מהעיירות פעם אחת בלבד, תוך כדי נסיעה רק בדרכים המסומנות על ידי קווים ישרים. כמה מסלולים שונים קיימים מהם הוא יכול לבחור? כמובן, עליו לסיים את מסעו בעיירה מס' `1`, ממנה הוא התחיל, ועליו להתעלם מצמתים, אלא לנסוע ישר מעיירה לעיירה. זוהי חידה קלה באופן מגוחך, אם ניגשים אליה בדרך הנכונה.

  • שאלה 244 - חֲמִשָּׁה עָשָׂר פְּנוֹת

    הנה עוד חידת מסע מוזרה, שהפתרון שלה דורש תושייה. במקרה הזה, הנוסע מתחיל מהעיר השחורה ורוצה להגיע רחוק ככל האפשר תוך ביצוע חמש-עשרה פניות בלבד, ולעולם לא לנסוע באותה דרך פעמיים. ההנחה היא שהערים מרוחקות זו מזו במייל אחד. לדוגמה, נניח שהוא נסע ישר ל-A, אחר כך ישר ל-B, אחר כך ל-C, D, E ו-F, תגלו שהוא נסע שלושים ושבעה מיילים בחמש פניות. עכשיו, כמה רחוק הוא יכול להגיע בחמש-עשרה פניות?

  • שאלה 245 - הזבוב על האוקטהדרון

    "תראה," אמר הפרופסור לעמיתו, "אני צופה בזבוב הזה על האוקטהדרון, והוא מגביל את הליכותיו אך ורק לקצוות. מה יכולה להיות הסיבה שלו להימנע מהצדדים?"

    "אולי הוא מנסה לפתור איזושהי בעיית מסלול," הציע השני. "בהנחה שהוא מתחיל מנקודת העליונה, כמה מסלולים שונים יש שבהם הוא יכול ללכת על כל הקצוות, מבלי ללכת פעמיים לאורך אותו קצה בכל מסלול?"

     

    הבעיה הייתה קשה יותר ממה שהם ציפו, ולאחר שעבדו עליה ברגעי הפנאי במשך מספר ימים התוצאות שלהם לא הסכימו — למעשה, שניהם טעו. אם הקורא מופתע מכישלונם, שינסה בעצמו את החידה הקטנה. אסביר רק שהאוקטהדרון הוא אחד מחמשת הגופים הרגילים, או האפלטוניים, והוא תחום תחת שמונה משולשים שווים ושווי צלעות. אם תגזור את שני חלקי הקרטון בצורה המוצגת בשולי האיור, תגזור חצי דרך לאורך הקווים המקווקווים ואז תכופף אותם ותחבר אותם, תקבל אוקטהדרון מושלם. בכל מסלול על פני כל הקצוות יתגלה שהזבוב חייב להסתיים בנקודת המוצא בראש.

  • שאלה 246 - הפאזל של האיקוסהדרון

    האיקוסהדרון הוא עוד אחד מחמשת הגופים הרגילים, או האפלטוניים, שכל צדדיהם, זוויותיהם ומישוריהם דומים ושווים. הוא תחום על ידי עשרים משולשים שווי צלעות דומים. אם תגזרו חתיכת קרטון בצורה המוצגת בדיאגרמה הקטנה יותר, ותחתכו חצי עובי לאורך הקווים המקווקווים, היא תתקפל ותיצור איקוסהדרון מושלם.

    ובכן, גוף אפלטוני לא בהכרח מציין גוף שמימי; אבל זה יתאים למטרת הפאזל שלנו אם נניח שיש כוכב לכת ראוי למגורים בצורה הזו. נניח גם שבשל שפע מים, היבשה היחידה נמצאת לאורך הקצוות, ושלתושבים אין ידע בניווט. אם כל אחד מהקצוות האלה באורך `10,000` מיילים, ומטייל בודד ממוקם בקוטב הצפוני (הנקודה הגבוהה ביותר המוצגת), כמה רחוק הוא יצטרך לנסוע לפני שהוא יבקר בכל חלק ראוי למגורים בכוכב הלכת — כלומר, יחצה כל אחד מהקצוות?

  • שאלה 247 - בדיקת מכרה

    הדיאגרמה אמורה לייצג את המעברים או הגלריות במכרה. נניח שכל מעבר, מ-A ל-B, מ-B ל-C, מ-C ל-H, מ-H ל-I, וכן הלאה, הוא באורך פרלונג אחד. ניתן לראות שיש שלושים ואחד מהמעברים האלה. כעת, פקיד צריך לבדוק את כולם, והוא יורד דרך הפיר לנקודה A. כמה רחוק הוא צריך לנסוע, ואיזה מסלול אתה ממליץ? הקורא עשוי לומר תחילה, "מכיוון שיש שלושים ואחד מעברים, כל אחד באורך פרלונג, הוא יצטרך לנסוע שלושים ואחד פרלונגים בדיוק." אבל זה מניח שהוא לעולם לא יצטרך לעבור לאורך מעבר יותר מפעם אחת, וזה לא המקרה. קח את העיפרון שלך ונסה למצוא את המסלול הקצר ביותר. עד מהרה תגלה שיש מקום לשיקול דעת ניכר. למעשה, זו חידה מבלבלת.

  • שאלה 248 - מסע האופניים

    שני רוכבי אופניים התייעצו במפת דרכים לקראת טיול קצר משותף. העיגולים מייצגים ערים, וכל הדרכים הטובות מיוצגות על ידי קווים. הם מתחילים מהעיר עם הכוכב, ועליהם להשלים את הטיול שלהם ב-E. אבל לפני שהם מגיעים לשם הם רוצים לבקר בכל עיר אחרת פעם אחת, ורק פעם אחת. זו הבעיה. מר ספייסר אמר, "אני בטוח שנוכל למצוא דרך לעשות זאת;" אבל מר מגס השיב, "בשום אופן, אני בטוח." עכשיו, מי מהם צדק? קחו את העיפרון שלכם ובדקו אם תוכלו למצוא דרך לעשות זאת. כמובן שעליכם להישאר בדרכים המצוינות.

  • שאלה 249 - החידה של המלח

    המלח המתואר באיור הצהיר שמאז נעוריו עסק במסחר עם כלי שיט קטן בין כעשרים איים קטנים באוקיינוס השקט. הוא סיפק את התרשים המחוספס שנתתי ממנו העתק, והסביר שהקווים מאי לאי מייצגים את המסלולים היחידים שהוא אי פעם אימץ. הוא תמיד התחיל מאי A בתחילת העונה, ואז ביקר בכל אי פעם אחת, ופעם אחת בלבד, וסיים את סיורו בנקודת ההתחלה A. אבל הוא תמיד דחה את ביקורו ב-C ככל האפשר, מטעמי מסחר שאיני צריך להיכנס אליהם. החידה היא לגלות את המסלול המדויק שלו, וניתן לעשות זאת בוודאות. קחו את העיפרון שלכם, ומתחילים ב-A, נסו לאתר אותו. אם תרשמו את האיים בסדר שבו אתם מבקרים בהם - לדוגמה, A, I, O, L, G וכו' - תוכלו לראות מיד אם ביקרתם באי פעמיים או השמטתם איזה מהם. כמובן, יש להתעלם מחציית הקווים - כלומר, עליכם להמשיך במסלולכם ישירות, ואין לכם רשות לעבור בצומת ולהמשיך בכיוון אחר. אין שום טריק מסוג זה בחידה. המלח ידע את המסלול הטוב ביותר. האם אתה יכול למצוא אותו?

  • שאלה 250 - הטיול הגדול

    אחת החידות היומיומיות של החיים היא תכנון מסלולים. אם אתם יוצאים לחופשה על אופניים, או לטיול מוטורי, תמיד עולה השאלה כיצד לנצל את הזמן והמשאבים שלכם בצורה הטובה ביותר. החלטתם להגיע למקום מסוים, לכלול ביקורים בעיר כזו וכזו, לנסות לראות משהו מעניין במיוחד במקום אחר, ואולי לנסות לבקר חבר ותיק בנקודה שלא תוציא אתכם בהרבה מהדרך. אז אתם צריכים לתכנן את המסלול שלכם כדי להימנע מכבישים גרועים, אזורים לא מעניינים, ואם אפשר, מהצורך לחזור באותה דרך שבה נסעתם. עם מפה לפניכם, ניגשים לפתרון החידה המעניינת. אציג לכם שאלה קטנה המבוססת על קווים אלה.

    אני מציג מפה גסה של מדינה—אין צורך לומר איזו מדינה—העיגולים מייצגים ערים והקווים המקווקווים את מסילות הברזל המחברות ביניהן. עכשיו, בעיר המסומנת A חי אדם שנולד שם, ובמשך כל חייו מעולם לא עזב את מקום הולדתו. מנעוריו הוא היה חרוץ מאוד, דבק בעקביות במקצועו, ולא היה לו רצון לשוטט בחוץ. עם זאת, בהגיעו לגיל חמישים הוא החליט לראות קצת מהמדינה שלו, ובמיוחד לבקר חבר ותיק מאוד שגר בעיר המסומנת Z. מה שהוא הציע היה כזה: שהוא יתחיל מביתו, ייכנס לכל עיר פעם אחת בלבד, ויסיים את מסעו ב-Z. מכיוון שהוא החליט לבצע את הטיול הגדול הזה ברכבת בלבד, הוא התקשה קצת לתכנן את המסלול שלו, אבל בסופו של דבר הוא הצליח לעשות זאת. איך הוא הצליח? אל תשכחו שצריך לבקר בכל עיר פעם אחת, ולא יותר מפעם אחת.