קומבינטוריקה

קומבינטוריקה היא אמנות הספירה. היא עוסקת בבחירות, סידורים וצירופים של אובייקטים. שאלות כוללות קביעת מספר הדרכים לביצוע משימות, סידור פריטים (תמורות), או בחירת תת-קבוצות (צירופים), תוך שימוש לעיתים קרובות בעקרונות כמו עקרון המכפלה ועקרון הסכום.

עקרון שובך היונים ספירה כפולה מקדמים בינומיים ומשולש פסקל כלל המכפלה תורת הגרפים התאמות אינדוקציה תורת המשחקים גאומטריה קומבינטורית אינווריאנטים בדיקת מקרים תהליכים טבלאות מספריות צביעות

• שאלה

  בכמה סכום כל המספרים הזוגיים שלא עוברים את `100` גדול יותר מסכום כל המספרים האי זוגיים שלא עוברים את `100`?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה -> ספירה כפולה אלגברה -> טכניקה אלגברית לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית

• המלך והשרים המושחתים

  למלך של הארץ הקסומה יש `100` שרים. ידוע כי בין כל `10` שרים שניקח, יש לפחות שר אחד מושחת. מהו המספר המינימלי האפשרי של שרים מושחתים בארץ הקסומה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה

  בחברה יש `13` אנשים, כולל המנהל. יום אחד המנהל החליט למנות לו מהעובדים של החברה סגן, ממלא מקום, מזכיר ופקיד. בכמה דרכים שונות הוא יכול לעשות את זה, אם המיומנויות של העובדים לא משפיעות על סוג התפקידים שהם יכולים למלא?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> כלל המכפלה

• שאלה

  הוכיחו כי 

  `1+3+5+...+(2n-1)=n^2`

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית

• מסגרת

  על דף משבצות נתון ריבוע בגודל `NxxN`. נתבנן במסגרת שלו בעובי של משבצת אחת. היא מורכבת מ-`4*(N-1)` משבצות.

  האם תוכלו לרשום במשבצות של המסגרת `4*(N-1)` מספרים שלמים עוקבים (לא בהכרח חיוביים), כך שיתקיים התנאי הבא:

  לכל מלבן שקודקודיו נמצאים על המסגרת וצלעותיו מקבילים לאלכסונים של הריבוע המקורי, סכום המספרים בקודקודים שווה לגודל קבוע. זה כולל גם את המלבנים "המנוונים" בעלי רוחב אפס שמתלכדים עם האלכסונים של הריבוע - במקרה הזה פשוט סוכמים את שני המספרים בקודקודים המנוגדים של הריבוע

  עבור:

  א. `N=3`

  ב. `N=4`

  ג. `N=5`

  

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 3 נקודות 2+3+4

• שאלה

  א. ברשותכם קנקן גדול של שמן זית של 12 ליטרים ושני ריקים כלים קטנים יותר, של 5 ושל 8 ליטרים. האם תוכלו לחלק את השמן שברשותכם לשני חלקים שווים, אם יש לכם רק את הכלים האלה ואין שום כלי מדידה נוספים?

  ב. אותה השאלה, אבל במקום הכל של 5 ליטרים יש כלי של 4 ליטרים.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית -> אלגוריתם אוקלידס קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  הוכיחו כי לא ניתן לחתוך את הצורה הנתונה לאבני דומינו:

  

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> התאמות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה

• שאלה

  האם תוכלו לחתוך את הצורה שבצד שמאל לשש צורות כמו הצורה בצד ימין?

  

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> התאמות הוכחה ודוגמה קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות

• שאלה

  זר מורכב מ-`7` שושנים, לבנות ואדומות (שני הצבעים נוכחים). ידוע כי מתוך כל שתי שושנים, אחת בהכרח לבנה. כמה שושנים לבנות וכמה שושנים אדומות יש בזר?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה

  האם קיים ריבוע שלם שמסתיים בספרות `...2017`?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה