קומבינטוריקה

קומבינטוריקה היא אמנות הספירה. היא עוסקת בבחירות, סידורים וצירופים של אובייקטים. שאלות כוללות קביעת מספר הדרכים לביצוע משימות, סידור פריטים (תמורות), או בחירת תת-קבוצות (צירופים), תוך שימוש לעיתים קרובות בעקרונות כמו עקרון המכפלה ועקרון הסכום.

עקרון שובך היונים ספירה כפולה מקדמים בינומיים ומשולש פסקל כלל המכפלה תורת הגרפים התאמות אינדוקציה תורת המשחקים גאומטריה קומבינטורית אינווריאנטים בדיקת מקרים תהליכים טבלאות מספריות צביעות

• שאלה

  אליס אוהבת לשתות תה. בשביל זה היא כל פעם לוקחת ספל אחד ותחתית אחת לספל. לאליס יש `3` ספלים שונים ו-`2` תחתיות שונות. בכמה דרכים שונות היא יכולה להרכיב את סט התה שלה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> כלל המכפלה

• שאלה

  מעיר א' לעיר ב' מובילים `4` כבישים, ומעיר ב' לעיר ג' מובילים `3` כבישים. בכמה דרכים שונות ניתן להגיע מ-א' ל-ג', אם מותר לנוע רק בכבישים, ובנוסף, אנחנו לא מעוניינים לנסוע אחורה? 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> כלל המכפלה

• שאלה

  בכיתה `15` בנות ו-`16` בנים. רוצים לבחור מתוכם ועדה שתכלול בת אחת ובן אחד. בכמה דרכים שונות ניתן לבחור את הועדה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> כלל המכפלה

• שאלה

  בחברה עובדים `8` מתמטיקאים, `15` כלכלנים ו-`25` מתכנתים. צריך לבחור מהם ועדה בת שלושה אנשים, שתכלול בן אדם אחד מכל מקצוע. בכמה דרכים שונות ניתן לבחור את הועדה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> כלל המכפלה

• שאלה

  נתון ריבוע שמחולק ל-`4` ריבועים קטנים יותר. בכמה דרכים שונות ניתן לצבוע את הריבועים הקטנים בירוק וכתום?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> כלל המכפלה

• שאלה

  נתון מספר ממשי `a` כך ש-`a+1/a` מספר שלם. הוכיחו כי גם `a^n+1/a^n` שלם לכל `n` טבעי.

  נושאים:

  תורת המספרים קומבינטוריקה -> אינדוקציה אלגברה -> טכניקה אלגברית הוכחה ודוגמה אלגברה -> סדרות

• שאלה

  `101` נקודות ממוקמות על מעגל. אילו מצולעים בעלי קודקודים בנקודות האלו יש יותר – מצולעים עם `51` צלעות או מצולעים עם `50` צלעות?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> מקדמים בינומיים ומשולש פסקל קומבינטוריקה -> התאמות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים

• שאלה

  אילו מספרים שבע ספרתיים יש יותר – כאלה שאין להם אפסים ברישום העשרוני, או כאלה שאין להם שתי ספרות זהות סמוכות ברישום העשרוני?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> כלל המכפלה

• מי שבר את הזכוכית?

  אחד מארבעה התלמידים הבאים: אבי, בני, גילי ודני – שבר זכוכית. מנהלת שואלת אותם, מי עשה את זה. להלן התשובות שהיא קיבלה:

  אבי: אני יודע בוודאות שמי ששבר את הזכוכית, זה לא אני ולא בני.

  בני: אני יודע בוודאות שמי ששבר את הזכוכית, זה לא אני ולא דני.

  גילי: אני יודעת בוודאות שמי ששבר את הזכוכית, זה לא אני ולא בני.

  דני: אני יודע בוודאות שמי ששבר את הזכוכית, זה לא אני ולא אבי.

  ידוע שרק אחד מהם שבר את הזכוכית, ובנוסף ידוע ששלושה מהתלמידים אמרו אמת, ואחד שיקר. אז מי שבר את הזכוכית?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים

• שאלה

  המספרים מ-`1` עד `2n` רשומים בשורה בסדר כלשהו. מוסיפים לכל מספר את אינדקס המקום עליו הוא עומד. הוכיחו כי בין `2n` הסכומים שקיבלנו יש שניים שהפרש שלהם מתחלק ב-`2n`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה