קומבינטוריקה

קומבינטוריקה היא אמנות הספירה. היא עוסקת בבחירות, סידורים וצירופים של אובייקטים. שאלות כוללות קביעת מספר הדרכים לביצוע משימות, סידור פריטים (תמורות), או בחירת תת-קבוצות (צירופים), תוך שימוש לעיתים קרובות בעקרונות כמו עקרון המכפלה ועקרון הסכום.

עקרון שובך היונים ספירה כפולה מקדמים בינומיים ומשולש פסקל כלל המכפלה תורת הגרפים התאמות אינדוקציה תורת המשחקים גאומטריה קומבינטורית אינווריאנטים בדיקת מקרים תהליכים טבלאות מספריות צביעות

• המלך הנשכח

  סדרו את הכלים במצב המוצג בתרשים. תנאי החידה הם: לבן משחק ומבצע מט בשישה מהלכים. למרות המורכבות, אראה כיצד ניתן לתמצת את מהלך המשחק למספר מצומצם של שורות, תוך ציון העובדה ששני המהלכים הראשונים של הלבן אינם ניתנים לשינוי.
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת המשחקים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 350

• מסע הצלב

  החידה הבאה היא חידת פרס שהוצגה על ידי לפני מספר שנים. הציגו משחק שחמט אשר, לאחר שישה עשר מסעים, ישאיר את הלבן עם כל ששת עשר הכלים שלו על המשבצות המקוריות שלהם ואת השחור מחזיק רק במלך שלו (לא בהכרח על המשבצת שלו). אז הלבן צריך לבצע מט כפוי בשלושה מסעים.
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת המשחקים חידות ורבוסים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 351

• חיילים בלתי ניתנים להזזה

  מההסדר הרגיל של הכלים כמו במשחק, מהו המספר הקטן ביותר האפשרי של מהלכים הדרושים כדי להגיע למצב הבא? המהלכים של שני הצדדים חייבים, כמובן, להתבצע בהתאם לחוקי המשחק, אם כי התוצאה בהכרח תהיה סוג מוזר מאוד של שחמט.
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת המשחקים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 352

• פאזל סיני עתיק

  החידה הבאה שלי אמורה להיות סינית, בת מאות שנים, ותמיד מעניינת. לבן משחק ומבצע מט, על ידי הזזת כל אחד משלושת הכלים פעם אחת בלבד.
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת המשחקים חידות ורבוסים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 357

• שישה חיילים

  בכמה דרכים שונות אוכל להניח שישה חיילים על לוח השחמט כך שיהיה מספר זוגי של משבצות לא מאוכלסות בכל שורה ובכל טור? אנחנו לא מתייחסים כאן לאלכסונים כלל, וכל שישה ריבועים מאוכלסים שונים יוצרים פתרון שונה, כך שאיננו צריכים לשלול היפוכים או שיקופים.
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> כלל המכפלה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 358

• סוליטר משבצות

  הנה משחק סוליטר קטן שהוא די קל, אבל לא כל כך קל שהוא לא מעניין. אתה יכול לסמן את הריבועים על גיליון קרטון או נייר, או שאתה יכול להשתמש בחלק מלוח השחמט שלך. הצגתי אסימונים ממוספרים באיור כדי להפוך את הפתרון לקל ומובן לכולם, אבל חיילי שחמט או דמקה יתאימו באותה מידה בפועל. הפאזל הוא להסיר את כל האסימונים מלבד אחד, והאחד הזה שנשאר חייב להיות מס' `1`. אתה מסיר אסימון על ידי קפיצה מעל אסימון אחר למשבצת הבאה מעבר לו, אם המשבצת הזו פנויה, אבל אתה לא יכול לבצע קפיצה בכיוון אלכסוני. המהלכים הבאים יבהירו את המשחק: `1-9`, `2-10`, `1-2` וכן הלאה. כאן `1` קופץ מעל `9`, ואתה מסיר את `9` מהלוח; אז `2` קופץ מעל `10`, ואתה מסיר את `10`; אז `1` קופץ מעל `2`, ואתה מסיר את `2`. כל מהלך הוא אפוא לכידה, עד ללכידה האחרונה שנעשית על ידי מס' `1`.
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת המשחקים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 359

• סוליטר לוח שחמט

  הנה הרחבה של משחק הסוליטר האחרון. כל מה שאתם צריכים זה לוח שחמט ושלושים ושניים כלים, או אותו מספר של דמקה או חיילים. באיור נעשה שימוש בחיילים ממוספרים. החידה היא להסיר את כל החיילים חוץ משניים, ושני אלה חייבים להיות במקור באותו צד של הלוח; כלומר, שני הנותרים חייבים להיות שייכים לקבוצה `1` עד `16` או לקבוצה השנייה, `17` עד `32`. מסירים חייל על ידי קפיצה מעליו עם חייל אחר למשבצת הבאה מעבר לו, אם המשבצת הזו פנויה, אבל אי אפשר לבצע קפיצה בכיוון אלכסוני. המהלכים הבאים יבהירו את המשחק: `3-11`, `4-12`, `3-4`, `13-3`. כאן `3` קופץ מעל `11`, ואתם מסירים את `11`; `4` קופץ מעל `12`, ואתם מסירים את `12`; וכן הלאה. יתגלה שזהו משחק סבלנות קטן ומרתק, והפתרון דורש הפעלת תושייה מסוימת.
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת המשחקים לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 360

• קערת הוואסייל

  בערב חג המולד אחד, שלושה וילי עייפים השיגו את מה שהיה עבורם כמו קערת וואסייל של ממש, בצורה של חבית קטנה, שהכילה בדיוק שישה ליטרים של בירה משובחת. לאחד האנשים היה כד של חמישה פינטים ולאחר כד של שלושה פינטים, והבעיה שלהם הייתה לחלק את המשקה שווה בשווה ביניהם בלי בזבוז. כמובן, אסור להם להשתמש בכלים או מידות אחרות. אם אתה יכול להראות איך זה נעשה בכלל, אז נסה למצוא את הדרך הדורשת את מספר המניפולציות המינימלי האפשרי, כאשר כל מזיגה נפרדת מכלי אחד למשנהו, או לגרונו של אדם, נחשבת כמניפולציה.

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 362

• חידת מדידה חדשה

  הנה חידה חדשה במדידת נוזלים שתימצא מעניינת. לאיש יש שני כלים של עשרה ליטר מלאים ביין, וכלי מדידה של חמישה ליטר ושל ארבעה ליטר. הוא רוצה לשים בדיוק שלושה ליטרים בכל אחד משני כלי המדידה. איך הוא יעשה זאת? וכמה פעולות (מזיגות מכלי אחד לכלי שני) נדרשות? כמובן, בזבוז יין, הטיה וטריקים אחרים אסורים.
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 365

• חביות הדבש

   

  לפני זמן רב היה סוחר קשיש מבגדד שהיה מכובד מאוד על ידי כל מי שהכיר אותו. היו לו שלושה בנים, והיה לו כלל בחיים להתייחס לכולם בדיוק אותו הדבר. בכל פעם שאחד קיבל מתנה, שני האחרים קיבלו כל אחד מתנה בשווי שווה. יום אחד האיש הראוי הזה חלה ומת, והוריש את כל רכושו לשלושת בניו בחלקים שווים.

  הקושי היחיד שהתעורר היה בנוגע למלאי הדבש. היו בדיוק עשרים ואחת חביות. הזקן השאיר הוראות שלא רק שכל בן יקבל כמות שווה של דבש, אלא יקבל בדיוק את אותו מספר חביות, ושאף דבש לא יועבר מחבית לחבית בגלל הבזבוז הכרוך בכך. כעת, מכיוון ששבע מהחביות הללו היו מלאות בדבש, שבע היו חצי מלאות ושבע היו ריקות, התברר שזה די פאזל, במיוחד כאשר כל אח התנגד לקחת יותר מארבע חביות מאותו תיאור—מלאות, חצי מלאות או ריקות. האם אתה יכול להראות כיצד הם הצליחו לבצע חלוקה נכונה של הרכוש?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 372