קומבינטוריקה, גאומטריה קומבינטורית

גאומטריה קומבינטורית בוחנת את הקשרים בין קומבינטוריקה לגאומטריה. היא עוסקת בבעיות על סידורים, תצורות ותכונות של אובייקטים גאומטריים בדידים (נקודות, קווים, מצולעים). שאלות כוללות לעיתים קרובות ספירה, הוכחות קיום ואי-שוויונים גאומטריים.

חתכו צורה גאומטריה על נייר משבצות

  • ריבועי השוקולד

    הנה לוח שוקולד, עם שקעים בקווקווים כך שאפשר להפריד בקלות את עשרים הריבועים. הכינו העתק של הלוח מנייר או קרטון, ואז נסו לחתוך אותו לתשעה חלקים כך שייצרו ארבעה ריבועים מושלמים בגודל זהה לחלוטין. מקורות:

  • חיתוך זוית

     

    הצורה שמבלבלת את הנגר באיור מייצגת זווית. ניתן לראות שהמידות שלה הן של ריבוע שהוסר ממנו רבע. החידה היא לחתוך אותה לחמישה חלקים שיתאימו זה לזה וייצרו ריבוע מושלם. אני מציג ניסיון, שפורסם באמריקה, לבצע את המשימה בארבעה חלקים, המבוסס על מה שידוע כ"עיקרון הצעד", אבל זו טעות.  

    נאמר לנו תחילה לחתוך את החלקים `1` ו-`2` ולארוז אותם בחלל המשולש המסומן על ידי הקו המקווקו, וכך ליצור מלבן.

    עד כאן טוב ויפה. עכשיו, אנו מונחים ליישם את עקרון הצעד הישן, כפי שמוצג, ועל ידי הזזת החלק `4` צעד אחד למטה, ליצור את הריבוע הנדרש. אבל, לצערי, זה לא מייצר ריבוע: רק מלבן. נקרא לשלושת הצדדים הארוכים של הזווית `84` אינץ' כל אחד. אז, לפני חיתוך הצעדים, המלבן שלנו בשלושה חלקים יהיה `84`×`63`. הצעדים צריכים להיות `10`½ אינץ' בגובה ו-`12` אינץ' ברוחב. לכן, על ידי הזזת צעד אחד למטה אנו מקטינים ב-`12` אינץ' את הצד `84` אינץ' ומגדילים ב-`10`½ אינץ' את הצד `63` אינץ'. לכן המלבן הסופי שלנו חייב להיות `72` אינץ' × `73`½ אינץ', מה שבהחלט אינו ריבוע! העובדה היא שניתן ליישם את עקרון הצעד רק על מלבנים עם צלעות באורכים יחסיים מסוימים. לדוגמה, אם הצד הקצר יותר במקרה זה היה `61` `5/7` (במקום `63`), אז שיטת הצעד תתאים. כי אז הצעדים יהיו `10` `2/7` אינץ' בגובה ו-`12` אינץ' ברוחב. שימו לב ש-`61` `5/7` × `84`= הריבוע של `72`. נכון לעכשיו לא נמצא פתרון בארבעה חלקים, ואני לא מאמין שאפשר למצוא כזה.

    מקורות:

  • הבעיה של הנגר

    לעיתים קרובות הזדמן לי להעיר על התועלת המעשית של חידות, הנובעות מיישום לענייני היומיום של הטריקים הקטנים וה-"קמטים" שאנו לומדים תוך כדי פתרון בעיות שעשוע. הנגר, באיור, רוצה לחתוך את חתיכת העץ למספר החלקים המינימלי האפשרי כדי ליצור משטח שולחן מרובע, מבלי לבזבז חומר. איך עליו לגשת לעבודה? כמה חלקים תצטרכו? מקורות:

  • בעיה נוספת של נגר

    לנגר היו שני חתיכות עץ בצורות ובפרופורציות יחסיות המוצגות בדיאגרמה. הוא רצה לחתוך אותן למספר קטן ככל האפשר של חלקים כך שניתן יהיה לחבר אותם יחד, ללא בזבוז, וליצור משטח שולחן מרובע לחלוטין. איך הוא היה צריך לעשות את זה? אין צורך לתת מידות, כי אם החלק הקטן יותר (שהוא חצי ריבוע) יהיה קצת גדול מדי או קטן מדי, זה לא ישפיע על שיטת הפתרון. מקורות:

  • פאזל גזירה

    הנה חידה קטנה בגזירה. אני לוקח רצועת נייר, בגודל חמישה אינץ' על אינץ' אחד, ובאמצעות חיתוך לחמישה חלקים, החלקים מתאימים יחד ויוצרים ריבוע, כפי שמוצג באיור. עכשיו, זהו פאזל די מעניין לגלות איך אנחנו יכולים לעשות זאת רק בארבעה חלקים. מקורות:

  • שטיח האח של גברת הובסון

    לבנה של גברת הובסון הייתה תאונה כששיחק באש, ושרף שתיים מפינותיו של שטיח אח יפה. הפינות הפגומות נחתכו, וכעת יש לו את המראה והפרופורציות המוצגים בדיאגרמה שלי. איך גברת הובסון צריכה לחתוך את השטיח למספר המינימלי האפשרי של חלקים שיתאימו זה לזה וייצרו שטיח מרובע לחלוטין? ניתן לראות שהשטיח הוא בפרופורציות של `36` × `27` (לא משנה אם נאמר אינצ'ים או יארדים), וכל חתיכה שנחתכה הייתה במידות של `12` ו-`6` מבחוץ כמו בציור.

    מקורות:

  • המחומש והריבוע

    מעניין אותי כמה מקוראיי, מבין אלה שלא הקדישו תשומת לב רבה ליסודות הגיאומטריה, יוכלו לצייר מחומש משוכלל, או צורה בעלת חמש צלעות, אם יידרשו לעשות זאת באופן פתאומי. משושה משוכלל, או צורה בעלת שש צלעות, הוא די קל, כי כולם יודעים שכל מה שצריך לעשות הוא לתאר מעגל ואז, לקחת את הרדיוס כאורך אחת הצלעות, ולסמן את שש הנקודות סביב ההיקף. אבל מחומש הוא עניין אחר לגמרי. אז, מכיוון שהחידה שלי קשורה לחיתוך של מחומש משוכלל, אולי כדאי שאקודם כל אראה לקוראים הפחות מנוסים שלי איך יש לצייר צורה זו בצורה נכונה. תארו מעגל וציירו את שני הקווים H B ו-D G, בתרשים, דרך המרכז בזוויות ישרות. כעת מצאו את הנקודה A, באמצע בין C ו-B. לאחר מכן הניחו את חוד המצפן שלכם ב-A ועם המרחק A D תארו את הקשת החותכת את H B ב-E. לאחר מכן הניחו את חוד המצפן שלכם ב-D ועם המרחק D E תארו את הקשת החותכת את ההיקף ב-F. כעת, D F היא אחת הצלעות של המחומש שלכם, ועליכם פשוט לסמן את הצלעות האחרות סביב המעגל. די פשוט כשאתם יודעים איך, אבל אחרת קצת קשה. לאחר שיצרתם את המחומש שלכם, החידה היא לחתוך אותו למספר המועט ביותר של חלקים שיתאימו זה לזה וייצרו ריבוע מושלם. מקורות:

  • המשולש המנותח

     

    חידה טובה היא זו שהג'נטלמן באיור מציג לחבריו. הוא פשוט גזר מנייר משולש שווה צלעות — כלומר, משולש שבו שלוש הצלעות באותו אורך. הוא מציע לחתוך אותו לחמישה חלקים בצורה כזו שהם יתאימו זה לזה וייצרו שניים או שלושה משולשים שווי צלעות קטנים יותר, תוך שימוש בכל החומר בכל מקרה. האם תוכלו לגלות כיצד יש לבצע את החיתוכים?

    זכרו שכאשר הכנתם את חמשת החלקים שלכם, עליכם להיות מסוגלים, כרצוי, לחבר אותם יחד כדי ליצור או את המשולש המקורי הבודד או ליצור שני משולשים או ליצור שלושה משולשים — כולם שווי צלעות.

    מקורות:

  • השולחן והשרפרפים

    הזדמן לי לא פעם להראות שהתשובות שפורסמו למספר רב של החידות העתיקות והידועות ביותר הן שגויות לחלוטין או ניתנות לשיפור. אני מציע לשקול את החידה הישנה של השולחן והשרפרפים שרוב הקוראים שלי ראו כנראה בצורה זו או אחרת בספרים שנערכו לשעשוע הילדות.

    הסיפור מספר שמנהל בית ספר חסכן ובעל תושייה רצה פעם להפוך משטח שולחן עגול, שלא היה לו שימוש בו, למושבים עבור שני שרפרפים אובליים, שלכל אחד מהם חור אחיזה במרכז. הוא הורה לנגר לבצע את החיתוכים כפי שמוצג באיור ולאחר מכן לחבר את שמונת החלקים יחד באופן המוצג. הוא התרשם כל כך מהתושייה שבהופעתו, שהוא הציג את החידה לכיתת הגיאומטריה שלו כלימוד קטן בניתוח. אבל המשך הסיפור מעולם לא פורסם, מכיוון שלפי השמועה, היה זה אופייני למנהלי האקדמיות שהם לעולם לא יודו שהם יכולים לטעות. אני מקבל את המידע שלי מצאצא של הילד המקורי שהיה לו הכי הרבה סיבות להתעניין בעניין.

    הצעיר החכם הציע בענווה למורה שחורי האחיזה גדולים מדי, וייתכן שילד קטן עלול ליפול דרכם. לכן הוא הציע דרך נוספת לבצע את החיתוכים שתתגבר על ההתנגדות הזו. על חוצפתו הוא קיבל עונש כה חמור שהוא השתכנע שככל שחור האחיזה בשרפרפים גדול יותר, כך הם עלולים להיות נוחים יותר. 

     

    מה הייתה השיטה שהילד הציע?

    האם אתה יכול להראות כיצד ניתן לחתוך את משטח השולחן העגול לשמונה חלקים שיתאימו זה לזה וייצרו שני מושבים אובליים לשרפרפים (כל אחד באותו גודל וצורה בדיוק) ולכל אחד מהם חורי אחיזה דומים במידות קטנות יותר מאשר במקרה המוצג לעיל? כמובן, יש להשתמש בכל העץ.

    מקורות:

  • המונד הגדול

     

    הנה סמל בעל עתיקות עצומה הראוי לתשומת לב. הוא מוטבע על נס קוריאה ועל דגל הסוחר שלה, ואומץ כסימן מסחרי על ידי חברת הרכבות Northern Pacific, אם כי מעטים מודעים לכך שמדובר במונד הגדול, כפי שמוצג בסקיצה למטה. סימן זה עבור הסיני הוא כמו הצלב עבור הנוצרי. זהו סימן האלוהות והנצח, בעוד שני החלקים שאליהם מחולק המעגל נקראים יין ויאנג—הכוחות הזכריים והנקביים של הטבע. סופר בנושא לפני יותר משלושת אלפים שנה דיווח כי אמר בהתייחסו אליו: "הבלתי מוגבל מייצר את הקיצוניות הגדולה. הקיצוניות הגדולה מייצרת את שני העקרונות. שני העקרונות מייצרים את ארבעת הרבעים, ומארבעת הרבעים אנו מפתחים את הריבוע של שמונת הדיאגרמות של פואה-הי." אני מקווה שהקוראים לא יבקשו ממני להסביר זאת, כי אין לי מושג קלוש מה זה אומר. עם זאת, אני משוכנע שבמשך עידנים לסמל היו משמעויות נסתרות וכנראה מתמטיות עבור הסטודנט האזוטרי.

    אציג את המונד בצורתו היסודית. הנה שלוש שאלות קלות בנוגע לסמל הגדול הזה:—

    (I.) למי יש שטח גדול יותר, למעגל הפנימי המכיל את היין והיאנג, או לטבעת החיצונית?

    (II.) חלקו את היין והיאנג לארבעה חלקים באותו גודל ובאותה צורה על ידי חתך אחד.

    (III.) חלקו את היין והיאנג לארבעה חלקים באותו גודל, אך בצורה שונה, על ידי חתך ישר אחד.

    מקורות: