קומבינטוריקה, גאומטריה קומבינטורית

גאומטריה קומבינטורית בוחנת את הקשרים בין קומבינטוריקה לגאומטריה. היא עוסקת בבעיות על סידורים, תצורות ותכונות של אובייקטים גאומטריים בדידים (נקודות, קווים, מצולעים). שאלות כוללות לעיתים קרובות ספירה, הוכחות קיום ואי-שוויונים גאומטריים.

• שאלה

  ריבוע מחולק לכמה מצולעים קמורים (יותר מ-`1`), שלכל אחד מהם יש מספר שונה של צלעות. הוכיחו כי בין המצולעים האלה יש משולש.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> תורת הגרפים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה

  מישור נצבע בשני צבעים (כלומר, כל נקודת המישור נצבעה באחת משני הצבעים האלה). הוכיחו כי קיימות שתי נקודות במישור במרחק `1` כך ששתיהן באותו צבע.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  ברשותו של שלומי לוח שחמט וקובייה שגודל הפאה שלה הוא כמו גודל של משבצת הלוח. שלומי רוצה לצבוע את פאות הקובייה בשחור ולבן, ואז לגלגל את הקובייה על פני הלוח כך שכל פעם הפאה שנוגעת בלוח תהיה באותו הצבע כמו המשבצת בה היא נוגעת. הקובייה אמורה לעבור בכל משבצת בלוח בדיוק פעם אחת. האם שלומי יוכל לעשות זאת? נמקו או הביאו דוגמה.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> תורת הגרפים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט

• שאלה

  .המישור חולק על ידי n ישרים ומעגלים,

  הוכיחו כי את המפה שהתקבלה ניתן לצבוע בשני צבעים כך ששני חלקים שכנים (נפרדים על ידי קטע או קשת) נצבעים בצבעים שונים.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינדוקציה גאומטריה -> גאומטריה במישור הוכחה ודוגמה קומבינטוריקה -> צביעות
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 4

• שאלה

  בפנים של ריבוע עם צלע 1 סומנו `n>=101` נקודות, כך שאף שלוש לא על ישר. משולש יקרא מסומן אם קודקודיו הם נקודות מסומנות הוכיחו כי שטחו של אחד המשולשים המסומנים קטן מ- `1/100`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 4

• שאלה

  נתון דף משבצות אינסופי שקודקודיו צבועים בשני צבעים, כחול ואדום. הוכיחו כי קיימים שני ישרים אופקיים ושני ישרים אנכיים כך שארבע נקודות החיתוך שלהם צבועים בצבע זהה.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור קומבינטוריקה -> צביעות
  מקורות:
  • תרגילי זברה, תשע"ט, תרגיל 1 שאלה 1

• החרגול

  ישנו דף משבצות אינסופי, באחת המשבצות שלו יושב חרגול. החרגול יודע לקפוץ שתי משבצות בכל כיוון אופקי או אנכי, והוא יודע לקפוץ למשבצת הסמוכה לפי אלכסון. האם יוכל החרגול להגיע אי פעם למשבצת שסמוכה למשבצת ההתחלתית לפי צלע?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 2

• עוד קוביות משחק

  לאביב יש קוביות משחק, שבכל אחת מהן שתי פאות נגדיות צבועות באדום והשאר בכחול.
  אביב הדביק קובייה 3 × 3 × 3 מקוביות המשחק. לאחר מכן הגיע חברו כפיר וחישב את כל השטח האדום על פני הקובייה הגדולה.
  מהי התוצאה הגדולה ביותר שכפיר יכול לקבל?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> צביעות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 6

• 5 ישרים, 8 חיתוכים

  ציירו 5 ישרים, כך שתהיינה ביניהם בדיוק 8 נקודות חיתוך.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ג-ד שאלה 1

• מגן דוד במעגל

  על מעגל נתונות 8 נקודות. בכמה דרכים שונות אפשר לצייר מגן דוד עם קודקודים בנקודות האלו?

  

  הערה: מגן דוד הינה צורה כשמתקבלת כאשר שני משולשים נחתכים וצלעותיהם יוצרות בדיוק 6 נקודות חיתוך.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ז-ח שאלה 4