אלגברה

אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.

טכניקה אלגברית משוואות אי שוויונים בעיות מילוליות סדרות

  • כסף סיני

    הסינים הם אנשים מוזרים, ויש להם דרכים הפוכות משונות לעשות דברים. אומרים שהם משתמשים במסור עם לחץ כלפי מעלה במקום כלפי מטה, שהם מקציעים קרש עץ על ידי משיכת הכלי לעברם במקום לדחוף אותו, ובבניית בית הם בונים תחילה את הגג, ולאחר שהרימו אותו למקומו, ממשיכים לעבוד כלפי מטה. בכסף, המטבע של המדינה מורכב מטאלים בעלי ערך משתנה. הטאֶל נעשה דק יותר ויותר עד ש-`2,000` מהם שנערמו יחד היו פחות משלושה אינץ' בגובהם. הכסף הנפוץ מורכב ממטבעות פליז בעוביים משתנים, עם חור עגול, מרובע או משולש במרכז, כפי שמוצג באיור שלנו. אלה מושחלים על חוטים כמו כפתורים. נניח שאחד עשר מטבעות עם חורים עגולים שווים חמישה עשר צ'ינג-צ'אנגים, שאחד עשר עם חורים מרובעים שווים שישה עשר צ'ינג-צ'אנגים, ושאחד עשר עם חורים משולשים שווים שבעה עשר צ'ינג-צ'אנגים, איך יכול סיני לתת לי עודף עבור חצי כתר, תוך שימוש רק במטבעות משלושת הסוגים שהוזכרו? צ'ינג-צ'אנג אחד שווה בדיוק שני פני וארבע חלקי חמש עשרה מצ'ינג-צ'אנג. מקורות:

  • החידה של הפקיד הזוטר

    שני צעירים, שנשאו את השמות הנעימים מוגס וסנוגס, הועסקו כפקידים זוטרים על ידי סוחר במינסינג ליין. שניהם הועסקו באותו שכר—כלומר, החל משיעור של £`50` לשנה, לתשלום חצי שנתי. למוגס הייתה עלייה שנתית של £`10`, ולסנוגס הוצע אותו הדבר, רק שהוא ביקש, מסיבות שאינן נוגעות לחידה שלנו, שהוא יוכל לקבל את העלייה שלו ב£`2, 10`s. חצי שנתי, שלכך המעסיק שלו (אולי, באופן טבעי!) לא התנגד.

    כעת אנו מגיעים לנקודה האמיתית של החידה. מוגס הכניס בקביעות לבנק הדואר סכום מסוים ממשכורתו, בעוד סנוגס חסך פי שניים חלק גדול יותר ממשכורתו, ובסוף חמש שנים הם חסכו ביחד £`268, 15`s. כמה חסך כל אחד? ניתן להתעלם משאלת הריבית.

    מקורות:

  • עודף

    כולם מכירים את הקשיים המתעוררים לעתים קרובות סביב מתן עודף, וכיצד סיוע של אדם שלישי עם כמה מטבעות בכיסו יעזור לנו לעתים ליישב את העניין. הנה דוגמה. אנגלי נכנס לחנות בניו יורק וקנה סחורה בעלות של שלושים וארבעה סנט. הכסף היחיד שהיה לו היה דולר, מטבע של שלושה סנט ומטבע של שני סנט. לבעל החנות היו רק חצי דולר ורבע דולר. אבל לקוח אחר במקרה נכח, וכשנתבקש לעזור הציע שני מטבעות של עשרה סנט, מטבע של חמישה סנט, מטבע של שני סנט ומטבע של סנט אחד. איך הצליח בעל החנות לתת עודף? לטובת אותם קוראים שאינם מכירים את המטבע האמריקאי, יש לציין רק שדולר הוא מאה סנט ודַיְים הוא עשרה סנט. חידה מסוג זה צריכה לעורר קושי לעתים רחוקות אם תוקפים אותה בצורה נכונה. מקורות:

  • המטבעות השבורים

    לאיש היו שלושה מטבעות - סוברן, שילינג ופני - והוא גילה שבדיוק אותו חלק מכל מטבע נשבר. כעת, בהנחה שהערך המקורי הפנימי של מטבעות אלה היה זהה לערך הנקוב שלהם - כלומר, שהסוברן היה שווה לירה שטרלינג, השילינג היה שווה שילינג, והפני היה שווה פני - איזה חלק מכל מטבע אבד אם הערך של שלושת השברים הנותרים הוא בדיוק לירה שטרלינג אחת? מקורות:

  • כלכלה ביתית

    גברת פרקינס הצעירה, מפטני, כותבת לי כדלקמן: "אודה לך מאוד אם תוכל לתת לי את התשובה לתרגיל קטן שמטריד אותי מאוד לאחרונה. הנה הוא: אנחנו נשואים רק זמן קצר, ועכשיו, בתום שנתיים מהזמן שהקמנו משק בית, בעלי אומר לי שהוא מגלה שהוצאנו שליש מההכנסה השנתית שלו על שכר דירה, ארנונה ומסים, חצי על הוצאות משק בית ותשיעית בדרכים אחרות. יש לו יתרה של £`190` שנותרה בבנק. אני יודעת את זה, כי הוא השאיר בטעות את פנקס החשבון שלו אתמול, והצצתי לתוכו. אתה לא חושב שבעל צריך לתת לאשתו את כל הביטחון שלו בענייני הכסף שלו? ובכן, אני כן; ו—תאמין לזה?—הוא מעולם לא אמר לי מה ההכנסה שלו באמת, ואני רוצה, באופן טבעי מאוד, לגלות. אתה יכול להגיד לי מה זה מהמספרים שנתתי לך?"

    כן; ניתן בהחלט לתת את התשובה מהמספרים הכלולים במכתבה של גברת פרקינס. והקוראים שלי, אם לא יוזהרו, יהיו כמעט פה אחד בהצהרה שההכנסה היא—משהו מופרך לחלוטין מעל התשובה הנכונה!

    מקורות:

  • חידה בהיפוכים

    רוב האנשים יודעים שאם לוקחים סכום כסף כלשהו בלירות, שילינגים ופני, שבו מספר הלירות (פחות מ-£`12`) עולה על מספר הפני, הופכים אותו (קוראים ללירות פני ולפני לירות), מוצאים את ההפרש, ואז הופכים ומוסיפים את ההפרש הזה, התוצאה היא תמיד £`12, 18`s. `11`d. אבל אם נשמיט את התנאי, "פחות מ-£`12`", וניתן לאפס לייצג שילינגים או פני—(`1`) מהו הסכום הנמוך ביותר שעליו הכלל לא יחול? (`2`) מהו הסכום הגבוה ביותר שעליו הוא יחול? כמובן, כאשר הופכים סכום כזה כמו £`14, 15`s. `3`d., ניתן לכתוב אותו £`3, 16`s. `2`d., שהוא זהה ל-£`3, 15`s. `14`d. מקורות:

  • המוכר והבַּדָּר

    ל"מוכר ובַּדָּר" כפרי היו שני עוזרים יריבים, שהתגאו במהירותם בשירות לקוחות. הצעיר בצד המכולת יכול היה לשקול שתי חבילות סוכר של ליברה אחת לדקה, בעוד עוזר הבדים יכול היה לחתוך שלושה אורכים של יארד אחד של בד באותו זמן. המעסיק שלהם, ביום רגוע אחד, ערך להם מרוץ, נתן למוכר חבית סוכר ואמר לו לשקול ארבעים ושמונה חבילות סוכר של ליברה אחת, בעוד הבַּדָּר חילק גליל של ארבעים ושמונה יארד של בד לחתיכות של יארד. שני הגברים הופרעו יחד על ידי לקוחות במשך תשע דקות, אך הבַּדָּר הופרע פי שבע עשרה יותר זמן מהמוכר. מה הייתה תוצאת המרוץ? מקורות:

  • הבקר של ג'אדקינס

    היירם ב. ג'אדקינס, סוחר בקר מטקסס, היו לו חמש עדרי חיות, שהורכבו משוורים, חזירים וכבשים, עם אותו מספר חיות בכל עדר. בוקר אחד הוא מכר את כל מה שהיה לו לשמונה סוחרים. כל סוחר קנה את אותו מספר חיות, שילם שבעה עשר דולר עבור כל שור, ארבעה דולר עבור כל חזיר ושני דולר עבור כל כבש; והיירם קיבל בסך הכל שלוש מאות ואחד דולר. מהו המספר הגדול ביותר של חיות שיכל להיות לו? וכמה יהיו מכל סוג? מקורות:

  • קניית תפוחים

    מכיוון שרכישת תפוחים בכמויות קטנות תמיד הציגה קשיים ניכרים, אני חושב שכדאי להציע כמה הערות בנושא זה. כולנו מכירים את הסיפור על הילד החכם אשר, כשסופר לו על ידי הזקנה שהיא מוכרת את התפוחים שלה בארבעה שילינג לשלושה, אמר: "תן לי לראות! ארבעה שילינג לשלושה; זה שלושה לשני שילינג, שניים לפני, אחד בחינם—אני אקח אחד!"

    ישנם מקרים דומים של בלבול. לדוגמה, ילד הרים פעם תפוח של פני אחד מדוכן, אך כשנודע לו שהאגסים של האישה באותו מחיר, הוא החליף אותו ועמד ללכת. "עצור!" אמרה האישה. "לא שילמת לי על האגס!" "לא," אמר הילד, "כמובן שלא. נתתי לך את התפוח בשבילו." "אבל לא שילמת על התפוח!" "תברך את האישה! את לא מצפה שאשלם גם על התפוח וגם על האגס!" ולפני שהיצור המסכן הצליח לצאת מהסבך, הילד נעלם.

    אז, שוב, יש לנו את המקרה של האיש שנתן לילד שישה פני והבטיח לחזור על המתנה ברגע שהצעיר יהפוך אותה לתשעה פני. כעבור חמש דקות חזר הילד. "הפכתי את זה לתשעה פני," הוא אמר, ובאותו זמן מסר למיטיבו שלושה פני. "איך אתה מסביר את זה?" הוא נשאל. "קניתי תפוחים בשלושה פני." "אבל זה לא הופך את זה לתשעה פני!" "אני חושב שכן," הייתה תשובת הילד. "לאישה של התפוחים יש שלושה פני, נכון? בסדר גמור, יש לי תפוחים בשלושה פני, וזה עתה נתתי לך את שלושת הפני האחרים. מה זה אם לא תשעה פני?"

    אני מצטט את המקרים האלה רק כדי להראות שהילד הקטן באמת זקוק להדרכה קטנה באמנות קניית התפוחים. אז אתן פוזר פשוט העוסק בענף מסחר זה.

    לאישה זקנה היו תפוחים בשלושה גדלים למכירה—אחד בפני אחד, שניים בפני אחד ושלושה בפני אחד. כמובן ששניים מהגודל השני ושלושה מהגודל השלישי היו שווים בהתאמה לתפוח אחד מהגודל הגדול ביותר. כעת, ג'נטלמן שהיו לו מספר שווה של בנים ובנות נתן לילדיו שבעה פני לבזבז ביניהם על כל התפוחים הללו. החידה היא לתת לכל ילד חלוקה שווה של תפוחים. איך בוזבזו שבעת הפני, וכמה ילדים היו?

    מקורות:

  • קניית ערמונים

    אף על פי שהחידה הקטנה הבאה עוסקת ברכישת ערמונים, היא עצמה אינה מסוג ה-"ערמונים". היא די חדשה. ממבט ראשון יש לה בהחלט מראה של חידת "שטויות", אבל הכל בסדר כשמתייחסים אליה כראוי.

    אדם הלך לחנות לקנות ערמונים. הוא אמר שהוא רוצה ערמונים בפני אחד, וקיבל חמישה ערמונים. "זה לא מספיק; אני צריך לקבל שישית," הוא העיר! "אבל אם אתן לך עוד ערמון אחד," ענה המוכר, "יהיו לך חמישה יותר מדי." עכשיו, באופן מוזר, שניהם צדקו. כמה ערמונים צריך הקונה לקבל תמורת חצי כתר?

    מקורות: