组合数学, 不变量
不变量是系统或数学对象在应用变换或操作时保持不变的属性。识别不变量是解决关于过程或证明不可能性的问题的关键。问题涉及寻找此类常量或属性。
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问题
从棋盘上切掉两个对角（例如，`a1` 和 `h8`）。 你能用多米诺骨牌铺满剩下的棋盘吗？
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木棍上的蚂蚁
在一根长一米的木棍上有 `10` 只蚂蚁，每边 `5` 只，相距一厘米（见图）。木棍左侧的蚂蚁向右走，木棍右侧的蚂蚁向左走。每只蚂蚁的速度恒定，为每秒一厘米。当两只蚂蚁相遇时，它们都会改变方向并开始彼此远离。当任何一只蚂蚁到达木棍的末端时，它就会掉落（蚂蚁是非常愚蠢的生物）。
A. 是否会出现所有蚂蚁都从木棍上掉下来的情况，如果可以，那么需要多长时间？
B. 蚂蚁之间会发生多少次碰撞？
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牛奶和咖啡
一. 汉娜有两个杯子，一个装牛奶，另一个装咖啡。牛奶和咖啡的量相同。汉娜将两茶匙牛奶倒入咖啡杯中，搅拌均匀，然后将两茶匙咖啡从咖啡杯中倒入牛奶杯中。现在她有两个杯子，每个杯子都装有咖啡和牛奶的混合物。哪个更多 – 咖啡杯中的牛奶还是牛奶杯中的咖啡？
二. 同样的问题，但这次汉娜将牛奶加入咖啡中不搅拌。
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问题
黑板上写着数字：`1, 2, 3, …, 2016, 2017`。每次操作可以选择黑板上的两个数字，将它们擦除，然后写上它们的（正）差。经过多次这样的操作后，黑板上只剩下一个数字。这可能为零吗？
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问题
一. 假设您有一个12升的大油罐，以及两个空的容器，分别为5升和8升。您是否能够将油分成两个相等的部分？您只有这些容器，没有其他测量工具。
二. 同样的问题，但不是5升的容器，而是一个4升的容器。
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问题
证明不能将给定的形状切割成多米诺骨牌：
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问题
你能否将左侧的形状切割成六个与右侧形状相同的形状？
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问题
沿着街道排列着 `6` 棵树。有一天，来了 `6` 只鹦鹉，它们栖息在树上，每棵树一只鹦鹉。 不时地，两只鹦鹉各自移动到相邻的树上。 鹦鹉们能否聚集在同一棵树上？
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蚱蜢
有一张无限大的方格纸，一只蚱蜢位于其中的一个方格中。 蚱蜢可以沿水平或垂直方向跳跃两个方格，并且它可以沿对角线跳跃到相邻的方格。 蚱蜢是否能到达与起始方格相邻的方格？
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圆木
您有一根非常长的圆木。 如果您有以下工具，您能从中精确地测量出一米吗？
a. 一根 1.5 米长的棍子和一根 40 厘米长的棍子，
b. 一根 1.5 米长的棍子和一根 30 厘米长的棍子，如果您没有任何其他测量工具，请说明原因！
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