数论, 除法, 奇偶性

奇偶性指整数是偶数（能被2整除）还是奇数（不能被2整除）。许多问题，尤其是在数论和组合数学中，可以通过考虑所涉及数字的奇偶性来解决或简化。问题通常需要分析运算如何影响奇偶性。

• 问题

  是否存在一个完全平方数，其末尾数字为 `...2017`？

  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 数论 -> 除法 -> 奇偶性 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序 证明与示例 -> 反证法

• 问题

  `19` 棵苹果树在一个圆圈上。证明存在一对相邻的树，它们上面苹果的总数是偶数。

  主题：

  逻辑学 -> 推理/逻辑 数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例 -> 反证法

• 问题

  在神奇的国度里，只有面额为 `4`、`7` 和 `10` 里拉的硬币。 Shlomi 现在只有 `4` 和 `10` 里拉的硬币。 Shlomi 想买一本价格为 `23` 里拉的书。他能正好支付书款而无需找零吗？

  主题：

  逻辑学 -> 推理/逻辑 数论 -> 除法 -> 奇偶性

• 问题

  你能找到两个数，使得它们的和与积均为奇数吗？请解释原因或提供一个例子！

  主题：

  数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例 -> 反证法

• 问题

  证明：任意两个连续整数之和总是奇数。

  主题：

  数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例

• 问题

  考虑从`1`到`700`的整数。

  a. 这些数字中有多少是偶数？

  b. 这些数字中有多少能被`7`整除？

  c. 这些数字中有多少不能被`2`或`7`整除？

  回答第 c 部分。

  主题：

  数论 -> 素数 算术 数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 组合数学 -> 匹配 数论 -> 除法 -> 奇偶性 数论 -> 最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM） 集合论

• 问题

  沿着街道排列着 `6` 棵树。有一天，来了 `6` 只鹦鹉，它们栖息在树上，每棵树一只鹦鹉。 不时地，两只鹦鹉各自移动到相邻的树上。 鹦鹉们能否聚集在同一棵树上？

  主题：

  组合数学 -> 不变量 逻辑学 -> 推理/逻辑 数论 -> 除法 -> 奇偶性

• 回文数

  找到一个四位数的回文数，它可以被25整除，但不能被3整除

  注意：回文数是指从前往后和从后往前读都一样的数字。例如，5775是一个回文数，而5778不是回文数。

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  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 -> 被3和9整除的规则 数论 -> 除法 -> 奇偶性 数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 -> 被5和25整除的规则 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序
  来源：
  • Young Mathematician Olympiad, 2017-2018, Stage A, Grades 3-4 问题 5

• 问题

  是否存在自然数解满足方程 `x^2 + 12 = y^3`，使得

  a. x 是偶数 (更简单)

  b. x 是奇数

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  主题：

  数论 -> 素数 数论 -> 模算术/余数算术 数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例 -> 反证法 算术 -> 带余除法 代数学 -> 方程 -> 丢番图方程
  来源：
  • Mink Exercises and Additional Competition Materials, 2018-2019, Exercise 3 问题 6

• 测验

  在一个有25名学生的班级里进行了一次包含7道题的测验。证明以下两个陈述中至少有一个是正确的：

  1. 有一个学生解答了奇数道题
  2. 有一道题被偶数个学生解答了
  主题：

  组合数学 -> 鸽巢原理 逻辑学 -> 推理/逻辑 数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例 -> 反证法
  来源：
  • Young Mathematician Olympiad, 2017-2018, Final, Grades 5-6 问题 5