证明与示例

此类别强调构建严谨论证（证明）以建立普遍真理，以及使用具体实例（示例）来说明概念、检验猜想或寻找反例的核心数学活动。问题可能要求其中之一或两者兼有。

• 六边形平铺

  给出两种类型的瓷砖。第一种类型的每个瓷砖的形状是边长为 1 的正六边形。第二种类型的每个瓷砖的形状是边长为 2 的正六边形。假设每种类型的瓷砖都有无限的供应。是否可以用这些瓷砖平铺整个平面，同时使用两种类型的瓷砖？

  主题：

  逻辑学 -> 推理/逻辑 证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2006 问题 4

• 三角形的边长

  设 `n > 2` 为整数，且 ` t_1,t_2,...,t_n` 为正实数，满足

  `(t_1+t_2+...+t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n) < n^2+1`

  证明对于所有 i,j,k 满足 `1<=i<j<k<=n`，数集 `t_i,t_j,t_k` 均为某个三角形的边长。

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 代数学 -> 不等式 证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形不等式
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2006 问题 5