证明与示例
此类别强调构建严谨论证（证明）以建立普遍真理，以及使用具体实例（示例）来说明概念、检验猜想或寻找反例的核心数学活动。问题可能要求其中之一或两者兼有。
构造示例/反例 反证法-
问题
将数字 `1`, `2`, `3`, ..., `9` 分成 `3` 组。 证明存在一组，其中数字的乘积大于或等于 `72`。
-
问题
Shlomi 有一个棋盘和一个立方体，其面的大小与棋盘上一个正方形的大小相同。 Shlomi 想要将立方体的面涂成黑色和白色，然后将立方体在棋盘上滚动，使得每次接触棋盘的面与它接触的正方形颜色相同。立方体应该恰好一次通过棋盘上的每个正方形。 Shlomi 能做到吗？解释或给出一个例子。
-
问题
已知自然数 m,n 满足 `m/n <= sqrt 23`, 证明 `m/n+3/{mn} <= sqrt 23`成立。
来源： -
问题
是否存在自然数解满足方程 `x^2 + 12 = y^3`，使得
a. x 是偶数 (更简单)
b. x 是奇数
来源： -
玩具
约拿单收集了一些木制玩具。有些是立方体，有些是球体，有些是红色的，有些是蓝色的。
已知球体比立方体多，并且已知蓝色玩具比红色玩具多。
证明约拿单有一个蓝色的球体。
来源： -
测验
在一个有25名学生的班级里进行了一次包含7道题的测验。证明以下两个陈述中至少有一个是正确的：
- 有一个学生解答了奇数道题
- 有一道题被偶数个学生解答了
-
说谎者圆圈 - 真相的陈述
在一个圆圈里坐着n个人，每个人要么是说谎者，要么是诚实的人。
这些人看着圆圈的中心。说谎者总是说谎，而诚实的人总是说实话。
每个人都清楚地知道谁是说谎者，谁是诚实的人。
每个人都说坐在他左边两位的人（也就是坐在他旁边的人的旁边的人）是诚实的人。
已知圆圈里至少有一个说谎者，且至少有一个诚实的人。
A. 是否可能 2017 = n？
B. 是否可能 5778 = n？
（答案格式：“词，词”，例如“猫，小狗”）
来源： -
圆的切线
已知两个三角形 ACE, BDF
相交于 6 个点: G,H,I,J,K,L
如图所示。已知每个四边形
EFGI ,DELH ,CDKG ,BCJL ,ABIK 都有一个内切圆。
FAHJ 四边形是否也可能有一个内切圆？
来源： -
分解和公式的应用
一个有趣的公式是 `x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)`。
a: 利用此公式分解表达式 `a^n-b^n`。
b: 当 n 为任意奇数时，分解表达式 `a^n+b^n`。
c: 证明如果 `2^n-1` 是素数，那么 n 也是素数。
d: 证明如果 `2^n+1` 是素数，那么 n 必然是 2 的幂，这等价于 `n=2^m`
来源： -
有限除法
找出所有满足 `x^2+y^2=3z^2+3w^2 ` 的整数 x, y, z, w.
来源：