证明与示例
此类别强调构建严谨论证（证明）以建立普遍真理，以及使用具体实例（示例）来说明概念、检验猜想或寻找反例的核心数学活动。问题可能要求其中之一或两者兼有。
构造示例/反例 反证法-
问题
在某个国家有超过 101 个城市。首都通过航线与 100 个城市相连，而除了首都以外的每个城市都通过航线与恰好 10 个城市相连。已知从任何一个城市都可以到达任何其他城市（可能不是直达）。证明可以关闭一半通往首都的航线，这样从任何一个城市到任何其他城市的可达性仍然保持。
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问题
平面被 n 条直线和圆分割成若干区域，
证明所得的地图可以用两种颜色着色，使得任何两个相邻区域（由一段线段或弧分隔）都被涂成不同的颜色。
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带有数字的卡片
拉赫尔有三张带有不同数字的卡片，所有数字都大于 0。拉赫尔用这些卡片组成了所有可能的三位数，并计算了它们的总和。
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证明总和可以被 3 整除 -
有限除法
找出所有满足以下条件的整数 x, y, z, w： `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `。
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问题
最小的各位数字都不同的六位数是多少？
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问题
三只刺猬各有三块奶酪，重量分别为 `5`、`8` 和 `11` 克。狐狸提议帮助刺猬们平均分配奶酪。狐狸可以做的操作是从它选择的两块奶酪中各咬掉 1 克。狐狸能否通过这些操作，使得三只刺猬最终拥有相等重量的奶酪？
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问题
你能否只用一个天平，不用砝码，将`24`公斤的钉子分成`15`公斤和`9`公斤的两部分？
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断裂的链条
有五个断裂的链条片段，每个片段包含三个链环。摩西想要修复这条链条。他需要打开和重新闭合的最少链环数是多少，才能将所有这些片段连接在一起？
注意：这条链条不是环形的！
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问题
是否可以将从`1`到`100`的所有数字排列成一行，使得每两个相邻数字之间的差至少为`50`？如果是，请给出一个例子；如果不是，请证明为什么。
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问题
设 M 为平面上点的集合。如果可以从 M 中移除一个点，使得 O 是剩余点的通常对称中心，则称 O 为部分对称中心。一个平面上的有限点集可以有多少个部分对称中心？
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В. Прасолов