证明与示例
此类别强调构建严谨论证（证明）以建立普遍真理，以及使用具体实例（示例）来说明概念、检验猜想或寻找反例的核心数学活动。问题可能要求其中之一或两者兼有。
构造示例/反例 反证法-
问题
在一个正五边形的顶点上写着数字 `1,2,3,4,5`，每个顶点恰好写一个数字。如果一个顶点三元组构成一个等腰三角形，且其顶点的数字大于另两个顶点或小于另两个顶点，则该三元组被称为成功的。
求出可能的最大成功三元组数量。
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十位數數字
雅ael正在寫十位數的數字，在它們的十進制表示法中，每個數字`0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9`恰好出現一次。
来源：
在雅ael寫的數字中，任何兩個相鄰數字之間的差至少為2。雅ael可以寫的最小數字是什麼？
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圆桌会议
一张圆桌旁有 12 个座位，一些座位上坐着骑士。亚瑟想要加入会议，
来源：
并且无论他坐在哪里，他旁边肯定有人坐着。
为了确保这种情况发生，圆桌旁最少可以有多少位骑士？（不包括亚瑟） -
彩色街道 2
沿街有 15 栋房屋，颜色为红色、蓝色和绿色。每种颜色至少有一栋房屋。
来源：
每两栋蓝色房屋之间有一栋红色房屋。每两栋绿色房屋之间有一栋蓝色房屋。
绿色房屋的最大数量是多少？
注意：街道是直的，所有房屋都位于街道的一侧。 -
整数系数？
已知实数 a,b,c 使得对于每个整数 x，数 `ax^2+bx+c` 是整数。 这是否一定意味着 a,b,c 都是整数？ 证明成立或提供反例。
来源： -
平面上的集合
A. 是否存在一个平面上的集合 A，使得它与每个圆的交集恰好包含两个点？
B. 是否存在一个平面上的集合 B，使得它与每个半径为 1 的圆的交集恰好包含两个点？
来源： -
第1224位数字
将自然数按顺序从左到右写下来：
1234567891011...
例如，请注意，第10位数字是1，第11位数字是0。
继续这样写下去，需要多少写多少...
序列中第1224位数字是什么？
来源： -
这里真挤！
游戏板上以“金字塔”形状排列着 55 个齿轮：
底层有 10 个齿轮，上一层有 9 个齿轮，以此类推。
在这种状态下，齿轮无法自由旋转（说服自己为什么！）。
移除齿轮以允许自由移动。
最多可以有多少个齿轮留在板上，以便所有齿轮都可以旋转？
来源： -
三角形公园的小路
在一个公园里，有3条直线小路构成一个三角形（没有其他小路）。公园的入口位于每条小路的中间，并且在三角形的每个顶点都悬挂着一盏灯。从每个入口处测量沿公园小路到对面顶点的灯的最短步行距离。结果发现，3个距离中有2个彼此相等。三角形一定是等腰三角形吗？
来源：
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问题
一个 `N×N` 的表格被数字填充，使得所有行都不同（至少在一个位置不同）。证明/证明可以删除任何列，以便在剩余的表格中所有行仍然不同。
来源：
A. 昂'安斯