证明与示例
此类别强调构建严谨论证（证明）以建立普遍真理，以及使用具体实例（示例）来说明概念、检验猜想或寻找反例的核心数学活动。问题可能要求其中之一或两者兼有。
构造示例/反例 反证法-
问题
在 `8xx8` 的棋盘上最多可以放置多少个互不攻击的国王？
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问题
在一个`8xx8`的棋盘上，最多可以放置多少个互不攻击的车？
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问题
Shlomi 有一个尺寸为 `5xx5` 厘米的扁平盒子。 Shlomi 声称，任何可以放入此盒子的矩形，其所有边都必须小于 5 厘米。 他是对的吗？
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问题
在神奇的国度里，只有两种货币：`16` 勒克（魔法里拉）和 `27` 勒克。 是否有可能购买一本价值 1 魔法里拉的笔记本并获得精确的找零？
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问题
给定 `50` 个介于 `1` 和 `100` 之间的不同自然数。已知其中任意两个数的和不等于 `100`。是否正确地断言这些数中必有一个是完全平方数？
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问题
每天晚上，尤瓦尔在随机时间完成工作并到达公共汽车站。 在这个车站停靠着两辆公共汽车：`7` 路车，开往尤瓦尔的家，以及 `13` 路车，开往他的朋友什洛米的家。 尤瓦尔乘坐先到的公共汽车，因此去什洛米家或回家。
过了一段时间，尤瓦尔注意到，下班后他去什洛米家的次数大约是他回家的次数的两倍。 他由此推断，`13` 路公共汽车的频率是 `7` 路公共汽车的两倍。
尤瓦尔一定是对的吗？
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三个赛跑者
三名赛跑者，A、B 和 C，多次一起进行了百米赛跑。裁判声称 A 比 B 先到达终点的次数超过一半，B 比 C 先到达终点的次数超过一半，而 C 比 A 先到达终点的次数超过一半。
这可能吗？
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所有马都有相同的颜色吗？
Shlomi声称他已经通过归纳法证明，在每个马群中，所有的马都是相同的颜色：
如果只有一匹马，那么它的颜色就是它自己的颜色 - 因此我们证明了归纳基础成立。
为了进行归纳步骤，我们将马从`1`编号到`n`。根据归纳假设，编号从`1`到`n-1`的马，它们的颜色都相同。类似地，编号从`2`到`n`的马，它们的颜色也全部相同。并且由于从`2`到`n-1`的马的颜色是固定的，并且不能根据我们将它们分配到这个或那个组的方式而改变，那么马`1`和`n`也必须是相同的颜色。
Shlomi在他的证明过程中是否犯了错误？如果是这样，请找出错误。
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问题
给定序列 `1 , 1/2 ,1/3 ,1/4 ,1/5,...`，是否存在一个由上述序列的项组成的等差数列？
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长度为 5
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任意长度
来源： -
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切割
从一个 `9 times 9` 的正方形中，最多可以切割出多少个 `2 times 5` 的矩形？
来源：