证明与示例
此类别强调构建严谨论证（证明）以建立普遍真理，以及使用具体实例（示例）来说明概念、检验猜想或寻找反例的核心数学活动。问题可能要求其中之一或两者兼有。
构造示例/反例 反证法-
问题
已知三个实数 `a`, `b` 和 `c`。已知 `a+b+c>0`, `ab+bc+ca>0` 和 `abc>0`。证明 `a>0`, `b>0` 和 `c>0`。
-
问题
这个神奇的国度由`25`个地区组成。是否有可能每个地区都与奇数个其他地区相邻？
-
问题
证明不存在有 `7` 条边的多面体。
-
问题
给定七个整数 `a_1,a_2,a_3,...,a_7`, 设 `b_1,b_2,b_3,...,b_7` 是以不同顺序排列的相同数字。证明数字 `(a_1-b_1)(a_2-b_2)*...*(a_7-b_7)` 必然是偶数。
-
问题
从棋盘上切掉两个对角（例如，`a1` 和 `h8`）。 你能用多米诺骨牌铺满剩下的棋盘吗？
-
圆桌骑士
圆桌旁坐着 12 位骑士，他们每个人要么是精灵，要么是矮人。已知精灵的数量多于矮人的数量。证明存在两个面对面坐着的精灵。
如果骑士的总数为 120，这个结论仍然成立吗？
-
问题
有`21`个孩子，他们总共有`200`个坚果。证明存在两个孩子，他们拥有相同数量的坚果。
-
问题
在一个班级里有 `30` 名学生。在一次考试中，彭哈斯犯了 `13` 个错误，其余的人犯的错误都更少。证明有三名学生犯了相同数量的错误。
-
问题
数字 `1` 到 `2n` 以某种顺序写在一行中。 将每个数字添加到它所处位置的索引。 证明在我们得到的 `2n` 个总和中，有两个总和的差能被 `2n` 整除。
-
问题
将一个正方形分割成若干个凸多边形（多于`1`个），每个多边形的边数都不同。证明这些多边形中存在三角形。