קומבינטוריקה

קומבינטוריקה היא אמנות הספירה. היא עוסקת בבחירות, סידורים וצירופים של אובייקטים. שאלות כוללות קביעת מספר הדרכים לביצוע משימות, סידור פריטים (תמורות), או בחירת תת-קבוצות (צירופים), תוך שימוש לעיתים קרובות בעקרונות כמו עקרון המכפלה ועקרון הסכום.

עקרון שובך היונים ספירה כפולה מקדמים בינומיים ומשולש פסקל כלל המכפלה תורת הגרפים התאמות אינדוקציה תורת המשחקים גאומטריה קומבינטורית אינווריאנטים בדיקת מקרים תהליכים טבלאות מספריות צביעות

• שאלה

  חתכו את הצורה הנתונה לשמונה חלקים חופפים:

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות

• שאלה

  חתכו את הצורה הנתונה ל-16 חלקים חופפים:

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות

• נמלים על המקל

  על מקל שאורכו מטר אחד יש `10` נמלים, `5` מכל צד, במרחקים של סנטימטר אחד (ראו ציור). הנמלים שבצד השמאלי של המקל הולכות ימינה, והנמלים שבצד הימני של המקל הולכות שמאלה. מהירות של כל נמלה קבועה ושווה לסנטימטר אחד בשנייה. כאשר שתי נמלים נפגשות, שתיהן הופכות כיוון ומתחילות להתרחק זו מזו. כאשר נמלה כלשהי מגיעה לקצה המקל, היא נופלת (נמלים הן יצורים מפגרים במיוחד).

  

  א. האם יקרה המצב שכל הנמלים יפלו מהמקל, ואם כן, אז תוך כמה זמן?

  ב. כמה התנגשויות יתקיימו בין הנמלים?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• חלב וקפה

  א. לחנה יש שתי כוסות, אחת עם חלב שנייה עם קפה. הכמויות של החלב והקפה זהות. חנה מעבירה שתי כפיות של חלב לתוך כוס עם קפה, מערבבת, ואז מעבירה שתי כפיות מכוס של קפה לתוך החלב. כרגע יש לה שתי כוסות שבכל אחת מהן יש תערובת של קפה וחלב. מה יש יותר – חלב בתוך כוס של קפה או קפה בתוך כוס של חלב?

  ב. אותה השאלה, אבל הפעם חנה מוסיפה חלב לתוך הקפה ללא ערבוב.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון

• החוגים

  בשכבה ה' לומדים `70` ילדים. מתוכם `27` הולכים לחוג תיאטרון, `32` שרים במקהלה, ו-`22` עושים ג'ודו. בחוג תיאטרון יש `10` ילדים מהמקהלה, במקהלה יש `6` ילדים מג'ודו, ובג'ודו יש `8` ילדים שלומדים גם תיאטרון. שלושה ילדים הולכים גם לחוג תיאטרון, גם לג'ודו, גם שרים במקהלה. וכמה ילדים מהשכבה לא לומדים באף חוג משלושה החוגים האלה?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה אלגברה -> בעיות מילוליות תורת הקבוצות

• אבירי השולחן העגול

  סביב שולחן עגול יושבים 12 אבירים, שכל אחד מהם או אֶלְף או גמד. ידוע כי מספר האֶלפים גדול יותר ממספר הגמדים.  הוכיחו כי ישנם שני אֶלפים שיושבים אחד מול השני.

  האם זה ימשיך להיות נכון אם המספר הכולל של האבירים יהיה 120?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  הוכיחו כי מבין חמישה מספרים שלמים ניתן לבחור שניים שהפרש שלהם מתחלק ב-`4`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  א. הוכיחו כי  בין `11` מספרים טבעיים תמיד אפשר לבחור שניים שספרות האחדות שלהם זהות.

  ב. הוכיחו כי  בין `11` מספרים טבעיים תמיד אפשר לבחור שניים שהפרש שלהם מתחלק ב-`10`.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-5 וב-25

• שאלה

  ל-`21` ילדים יש סך הכל `200` אגוזים. הוכיחו כי קיימים שני ילדים שיש להם אותה כמות של אגוזים.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה

  בכיתה לומדים `30` תלמידים. במהלך מבחן פנחס עשה `13` טעויות, והשאר עשו פחות טעויות. הוכיחו שיש שלושה תלמידים שעשו כמויות זהות של טעויות.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום