קומבינטוריקה

קומבינטוריקה היא אמנות הספירה. היא עוסקת בבחירות, סידורים וצירופים של אובייקטים. שאלות כוללות קביעת מספר הדרכים לביצוע משימות, סידור פריטים (תמורות), או בחירת תת-קבוצות (צירופים), תוך שימוש לעיתים קרובות בעקרונות כמו עקרון המכפלה ועקרון הסכום.

עקרון שובך היונים ספירה כפולה מקדמים בינומיים ומשולש פסקל כלל המכפלה תורת הגרפים התאמות אינדוקציה תורת המשחקים גאומטריה קומבינטורית אינווריאנטים בדיקת מקרים תהליכים טבלאות מספריות צביעות

  • שלוש הקבוצות

    בכתב העת "Nouvelles Annales de Mathématiques" הופיעה החידה הבאה כשינוי לאחת מ"חידות קנטרברי" שלי. סדר את תשע הספרות בשלוש קבוצות של שתיים, שלוש וארבע ספרות, כך ששני המספרים הראשונים כאשר מכפילים אותם זה בזה יוצרים את השלישי. לדוגמה, `12` × `483` = `5,796`. אני מציע כעת לכלול גם את המקרים שבהם יש ספרה אחת, ארבע וארבע ספרות, כגון `4` × `1,738` = `6,952`. האם תוכל למצוא את כל הפתרונות האפשריים בשני המקרים? מקורות:

  • תשעת האסימונים

    יש לי תשעה אסימונים, שעל כל אחד מהם רשומה אחת מתשע הספרות, `1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8` ו-`9`. סידרתי אותם על השולחן בשתי קבוצות, כפי שניתן לראות באיור, כך שייצרו שני תרגילי כפל, וגיליתי ששני התרגילים נתנו את אותה מכפלה. תגלו ש-`158` כפול `23` זה `3,634`, וגם `79` כפול `46` זה `3,634`. עכשיו, החידה שאני מציע היא לסדר מחדש את האסימונים כך שנקבל את המכפלה הגדולה ביותר האפשרית. מה הדרך הטובה ביותר למקם אותם? זכרו ששתי הקבוצות חייבות להכפיל לאותה כמות, וחייבים להיות שלושה אסימונים כפול שניים במקרה אחד, ושניים כפול שני אסימונים במקרה השני, בדיוק כמו עכשיו. מקורות:

  • עשרת המונים

    במקרה זה אנו משתמשים באפס בנוסף ל-`1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9`. החידה היא, כבמקרה הקודם, לסדר את עשרת המונים כך שמכפלות שני הכפל יהיו זהות, ואפשר שיהיו ספרה אחת או יותר במכפיל, כרצונך. האמור לעיל הוא הישג קל מאוד; אך נדרש גם למצוא את שני הסידורים הנותנים זוגות של המכפלות הגבוהות והנמוכות ביותר האפשריות. כמובן שיש להשתמש בכל מונה, ולא ניתן למקם את הספרה אפס משמאל לשורת ספרות כאשר אין לה השפעה. שברים פשוטים או עשרוניים אינם מותרים. מקורות:

  • כפל ספרותי

    הנה בעיה משעשעת נוספת עם תשע הספרות, כאשר הספרה אפס אינה נכללת. באמצעות כל ספרה פעם אחת בלבד, אנו יכולים ליצור שני תרגילי כפל בעלי מכפלה זהה, וניתן לעשות זאת בדרכים רבות. לדוגמה, 7x658 ו-14x329 מכילים את כל הספרות פעם אחת, והמכפלה בכל מקרה זהה - `4,606`. כעת, ניתן לראות שסכום הספרות במכפלה הוא `16`, שאינו הסכום הגבוה או הנמוך ביותר שניתן להשיג. האם תוכלו למצוא את הפתרון לבעיה שנותן את הסכום הנמוך ביותר האפשרי של ספרות במכפלה המשותפת? וגם את זה שנותן את הסכום הגבוה ביותר האפשרי? מקורות:

  • החידה של פיירו

    פיירו באיור עומד בתנוחה המייצגת את סימן הכפל. הוא מצביע על העובדה המוזרה ש-`15` כפול `93` מניב בדיוק את אותן הספרות (`1,395`), אך מסודרות באופן שונה. החידה היא לקחת ארבע ספרות כלשהן שתרצו (כולן שונות) ולסדר אותן באופן דומה, כך שהמספר שנוצר מצד אחד של פיירו כאשר הוא מוכפל במספר בצד השני יפיק את אותן הספרות. ישנן דרכים מעטות מאוד לעשות זאת, ואני אתן את כל המקרים האפשריים. האם תוכלו למצוא את כולם? מותר לכם לשים שתי ספרות בכל צד של פיירו כמו בדוגמה המוצגת, או למקם ספרה בודדת בצד אחד ושלוש ספרות בצד השני. אם היינו משתמשים רק בשלוש ספרות במקום בארבע, הדרכים האפשריות היחידות הן אלה: `3` כפול `51` שווה ל-`153`, ו-`6` כפול `21` שווה ל-`126`. מקורות:

  • מספרי המוניות

    שוטר לונדוני ראה לילה אחד שתי מוניות נוסעות לכיוונים מנוגדים בנסיבות חשודות. השוטר הזה היה אדם זהיר ופקחי במיוחד, והוא הוציא את פנקס הכיס שלו כדי לרשום את מספרי המוניות, אך גילה שהוא איבד את העיפרון שלו. למרבה המזל, עם זאת, הוא מצא חתיכת גיר קטנה, שבעזרתה סימן את שני המספרים על שער הכניסה למזח סמוך. כשחזר לאותו מקום במשמרת שלו, הוא עמד והסתכל שוב על המספרים, והבחין בתכונה המוזרה הזו, שכל תשע הספרות (ללא אפס) היו בשימוש וששום ספרה לא חזרה על עצמה, אבל אם הוא יכפיל את שני המספרים זה בזה, הם ייצרו שוב את תשע הספרות, כולן פעם אחת, ורק פעם אחת. כאשר אחד הפקידים הגיע למזח בשעות הבוקר המוקדמות, הוא הבחין בסימני הגיר ומחק אותם בזהירות. מכיוון שהשוטר לא הצליח להיזכר בהם, התייעצו עם מתמטיקאים מסוימים לגבי קיומה של שיטה ידועה לגילוי כל זוגות המספרים בעלי התכונה המוזרה שהשוטר הבחין בה; אך הם לא הכירו שיטה כזו. עם זאת, החקירה הייתה מעניינת, והשאלה הבאה מתוך רבות הוצעה: אילו שני מספרים, המכילים יחד את כל תשע הספרות, יניבו, כאשר יוכפלו זה בזה, מספר אחר (הגבוה ביותר האפשרי) המכיל גם הוא את כל תשע הספרות? האפס אינו מותר בשום מקום.

    מקורות:

  • חידת תגי המספרים

    במקום בו מועסקים מספר רב של פועלים בבניין, נהוג לספק לכל אדם דיסקית קטנה הנושאת את מספרו. דיסקיות אלו נתלות על לוח על ידי הפועלים כשהם מגיעים, ומשמשות כמעקב אחר דייקנות. פעם שמתי לב שמנהל עבודה הסיר מספר תגים אלה מהלוח שלו והניח אותם על טבעת מפוצלת שנשא בכיסו. זה מיד נתן לי את הרעיון לחידה טובה. למעשה, אני אספר לקוראים שלי שכך בדיוק עולים רעיונות לחידות. אתה לא יכול באמת ליצור רעיון: זה קורה - ואתה צריך להיות בכוננות כדי לתפוס אותו כשזה קורה. ניתן לראות מהאיור שיש עשרה תגים אלה על טבעת, ממוספרים מ-`1` עד `9` ו-`0`. החידה היא לחלק אותם לשלוש קבוצות מבלי להסיר אף אחד מהם מהטבעת, כך שהקבוצה הראשונה כפול השנייה תיתן את הקבוצה השלישית. לדוגמה, אנו יכולים לחלק אותם לשלוש קבוצות, `2`—`8` `9` `7`—`1` `5` `4` `6` `3`, על ידי הבאת ה-`6` וה-`3` סביב ל-`4`, אבל לצערי שתי הראשונות כשהן מוכפלות יחד לא יוצרות את השלישית. האם אתה יכול להפריד אותם נכון? כמובן שמותר לך שיהיו לך כמה תגים שתרצה בכל קבוצה. החידה דורשת קצת תושייה, אלא אם כן יש לך מזל לפגוע בתשובה במקרה. מקורות:

  • חידת המאה

    האם תוכלו לכתוב `100` בצורה של מספר מעורב, תוך שימוש בכל תשע הספרות פעם אחת בלבד? המתמטיקאי הצרפתי המכובד, אדוארד לוקאס, מצא שבע דרכים שונות לעשות זאת, והביע את ספקותיו לגבי קיומן של דרכים אחרות. למעשה יש בדיוק אחת-עשרה דרכים ולא יותר. הנה אחת מהן, `91 5742/638`. בתשע מהדרכים האחרות יש באופן דומה שתי ספרות בחלק השלם של המספר, אך לביטוי האחד-עשר יש רק ספרה אחת שם. האם הקורא יכול למצוא את הצורה האחרונה הזו?

    מקורות:

  • המאה הדיגיטלית

    `1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9 = 100`.

    נדרש להציב סימנים אריתמטיים בין תשע הספרות כך שהתוצאה תהיה שווה ל- `100`. כמובן, אסור לשנות את הסדר המספרי הקיים של הספרות. האם תוכלו לתת פתרון נכון המשתמש ב- (`1`) מספר הסימנים המועט ביותר האפשרי, וב- (`2`) מספר המינימלי של קווים או נקודות נפרדים של העט? כלומר, יש צורך להשתמש בכמה שפחות סימנים אפשריים, וסימנים אלה צריכים להיות בצורה הפשוטה ביותר. סימני החיבור והכפל (+ ו- ×) ייחשבו כשני קווים, סימן החיסור (-) כקו אחד, סימן החילוק (÷) כשלושה, וכן הלאה.

    מקורות:

  • מספרי הקוביות

    יש לי סט של ארבע קוביות, שלא מסומנות עם נקודות בצורה רגילה, אלא עם ספרות ערביות, כפי שמוצג באיור. כל קובייה, כמובן, נושאת את המספרים `1` עד `6`. כאשר מצמידים אותן יחד, הן יוצרות מספרים רבים ושונים. כפי שמיוצג, הן מרכיבות את המספר `1246`. עכשיו, אם אני מרכיב את כל המספרים השונים בעלי ארבע ספרות שאפשר ליצור עם הקוביות האלה (אף פעם לא שם את אותה ספרה יותר מפעם אחת באף מספר), לסכום איזה מספר הם יגיעו? מותר לך להפוך את ה-`6` כך שייצג `9`. אני לא מבקש, או מצפה, מהקורא ללכת לכל העבודה של כתיבת הרשימה המלאה של המספרים ואז לחבר אותם. החיים לא ארוכים מספיק בשביל אנרגיה מבוזבזת כזאת. האם אתה יכול להגיע לתשובה בכל דרך אחרת?

    מקורות: