קומבינטוריקה

קומבינטוריקה היא אמנות הספירה. היא עוסקת בבחירות, סידורים וצירופים של אובייקטים. שאלות כוללות קביעת מספר הדרכים לביצוע משימות, סידור פריטים (תמורות), או בחירת תת-קבוצות (צירופים), תוך שימוש לעיתים קרובות בעקרונות כמו עקרון המכפלה ועקרון הסכום.

עקרון שובך היונים ספירה כפולה מקדמים בינומיים ומשולש פסקל כלל המכפלה תורת הגרפים התאמות אינדוקציה תורת המשחקים גאומטריה קומבינטורית אינווריאנטים בדיקת מקרים תהליכים טבלאות מספריות צביעות

• בחירות ממשלתיות

  בבחירות לפרלמנט של מדינה מסוימת השתתפו מספר מפלגות (לא ידוע כמה). כל אזרח שהשתתף בבחירות הצביע למפלגה אחת.

  עבור כל מספר שלם חיובי k נסמן על ידי `d_k` את מספר המפלגות שקיבלו k או יותר קולות. הוכיחו שהסכום `d_1+d_2+d_3+...` שווה למספר האזרחים שהצביעו בבחירות.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2017, צעירים שאלה 4

• טיול במישור

  נתונה במישור מערכת צירים x-y. יש להגיע מהנקודה (1,0) אל הנקודה (2006,2005), כאשר בכל מהלך מותר לנוע יחידה אחת מעלה (בכיוון החיובי של y) או יחידה אחת ימינה (בכיוון החיובי של ציר א).

  א. בכמה מסלולים שונים ניתן לבצע את המשימה?

  ב. בכמה מסלולים שונים ניתן לבצע את המשימה אם אסור באף שלב לעבור דרך נקודה הנמצאת על הישר x=y?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> מקדמים בינומיים ומשולש פסקל גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> שיקוף
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 7

• התרגיל המנצח

  מטילים שתי קוביות משחק הוגנות (1-6) ומחשבים שני תרגילים:

  1. סכום כל 10 הפאות הגלויות (5 בכל קובייה)

  2. סכום שתי הפאות העליונות של הקוביות ומכפלתו ב-5

  מהי ההסתברות שתוצאת התרגיל הראשון גבוהה מזו של התרגיל השני?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה תורת ההסתברות
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 4

• בצעדי פרש

  פרש נע על גריד אינסופי. הוא מתחיל בנקודה (0,0) ועליו להגיע אל
  הנקודה (5,27). בהנחה שהוא נע במספר הצעדים הקטן ביותר הנדרש,
  כמה אפשרויות שונות יש לו להגיע לנקודה זו?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 5

• המספר הנעלם

  בר ואילן בחרו כל אחד מספר שלם בין 1 ל- 30.

  אילן: האם המספר שלך כפול משלי?

  בר: לא יודעת. האם המספר שלך כפול משלי?

  אילן: לא יודע. האם המספר שלך חצי משלי?

  בר: לא יודעת. האם המספר שלך חצי משלי?

  אילן: לא יודע.

  בר: אני יודעת מה המספר שלך.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 6

• שניים רבים השלישי לוקח

  השכבה כולה במחלוקת!

  42 חושבים ש-כן, 43 חושבים ש-אולי ו-36 חושבים ש-לא.

  כאשר שניים שחושבים אחרת זה מזה נפגשים - שניהם משנים את עמדתם לזו השלישית.

  כמה מפגשים לכל הפחות צריכים להתקיים עד שכולם יסכימו על אותה העמדה?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 9

• צפוף פה!

  על לוח המשחק ממוקמים 55 גלגלי שיניים בצורת 'פירמידה':

  10 גלגלים בשורה התחתונה, 9 גלגלים בזו שמעליה, וכן הלאה.

  במצב זה, הגלגלים לא יכולים להסתובב בחופשיות (שכנעו את עצמכם מדוע!)

  מסירים גלגלי שיניים כדי לאפשר תנועה חופשית.

  כמה גלגלים לכל היותר יישארו על הלוח כך שכולם יוכלו להסתובב?

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 10

• שאלה

  תלמידי כיתה ח' זרקו כדורי גומי לקופסה ואחר כך ניסו לנחש כמה כדורים הצטברו שם. חמישה תלמידים ניסו לנחש: 45, 41, 55, 50, 43, אך אף אחד לא ניחש בדיוק את הכמות. הניחושים נבדלו מהאמת ב- 3, 7, 5, 7 ו-2 כדורים (לא בהכרח באותו הסדר כמו הניחושים). כמה כדורים היו בקופסה?

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 1

• שאלה

  בתרגיל אותיות זהות מסמנות ספרות זהות, אותיות שונות ספרות שונות, כוכביות מסמנות ספרות כלשהן. מצאו את כל הספרות.
  `(ABCD)^2 = A B ** ** ** C D `

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 4

• שאלה

  מצאו את המספר הטבעי הגדול ביותר, שכל ספרותיו שונות זו מזו, ואם מסתכלים על כל 3 ספרות רצופות מקבלים מספר שמתחלק ב-13.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימן חלוקה ב-11 קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 7